SÉANCE DU 27 JANVIER ICjI.'L 291 



faisceau v elliptiques de courbes. Elle pourrait aussi posséder, au lieu de ces 

 faisceaux, des involutions de ces genres dans des faisceaux irrationnels. 



On écarte la première supposition de la manière suivante : L'image du 

 faisceau donné ) /• J sur la surface de M. Picard serait, un système algébrique 

 de courbes de genre 2 ; mais comme celte surface possède un groupe oc 2 

 de transformations permutables, toutes ces courbes devraient posséder 

 mêmes modules. Donc aussi les courbes du faisceau donné devraient 

 posséder mêmes modules, ce cjui contredit la supposition, d'après ce 

 qu'on a vu. D'ailleurs la surface image du système [ C serait alors une sur- 

 face de Jacobi, puisqu'elle posséderait un système oc 2 de courbes de genre 

 virtuel = effectif 2. 



Donc la surface F possède ou bien un faisceau hyperelliptique du genre 2, 

 différent du faisceau \k\, d'après ce qu'on a vu, ou bien elle contient 

 deux faisceaux elliptiques. Donc, en général, une surface avec un faisceau 

 de courbes de genre 2 possède r.'^zp^ - p a et il en peut être de même 

 si les modules de ces courbes sont constants, ou si ces courbes contiennent 

 deux involutions elliptiques. 



Envisageons maintenant la courbe de coïncidence de l'involulion I a , qui 

 existe sur notre surface F. Cette courbe D coupe les courbes k du faisceau 

 en six points et le double de cette courbe est équivalent à six courbes L 

 canoniques de la surface ou bien il en diffère par des courbes A - du faisceau. 



On peut donc écrire 



2D =6L + v/„ 



v entier. Donc le nombre des points de rencontre de la courbe D et d'une 



courbe L canonique est 



3(/>(" — O + v. 



La formule de Zeuthen donne alors la relation suivante entrele genre /> ' 

 de la courbe L et le genre L* de son image sur la surface réglée F*, image 

 de l'involution 



(1 ) /?<>>= - i" — y -f- 5. 



La relation d 

 faces F et F 



La relation de Severi entre les invariants de Zeutben-Segré des deux 



I = 2l* — 2 -+- 2 7T|,. 



-„ étant le genre de la courbe de coïncidence, donne alors 



(2) />,, = —- —Olî'-h |. 



