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La formule (1) nous a été communiquée par M. Godeaux, qui a étudié 

 la correspondance entre les surfaces F et F*. On tire de (1) et (2) l'égalité 



(3) pi')-2jo a =67r'— 3. 



Donc on parvient à l'inégalité 



■n'Sp a + 2. 



Donc, si le genre tc' est égal à p g — p ri — e, 1 — 1 ou 2, on trouve 



Nous avons donc le résultat suivant : 



Les seules surfaces avec p s >zp a 4- 4 sont celles de genres p g — ip„ + 4, 

 avec deux faisceaux unisécants de genres /?„ — /?„— 2 et 2, à l'exceplion 

 peut-être de surfaces dont les courbes k sont de genre supérieur à 2 (le 

 genre -' étant <6, et bien entendu on ap g = 2p tl -+- 4), et naturellement des 

 surfaces avec un faisceau de courbes elliptiques. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Quelques remarques sur les systèmes complets de 

 fonctions orthogonales. Note (M de M. V. Kostitziv, présentée par 

 M. Emile Picard. 



i. Parmi les systèmes divers de fonctions orthogonales, le système tri- 

 gonométrique 



-• sin.r. cos.r, ..., sin/fx, cos/ij:, ... 



a une particularité intéressante : les parties de ce système 



1 



— j cos.?' cosna;, ...; sin.r, .... sin«.r. ... 



sont des systèmes complets dans l'intervalle (o, iz), mais elles cessent d'être 

 complètes dans l'intervalle (o, 2u) tout en restant orthogonales et le 

 système complet est leur ensemble. 



Il serait intéressant de savoir en quelle mesure l'orthogonalité d'un 

 système de fonctions dans une partie de l'intervalle initial est liée avec sa 



(') Présentée dans la séance du 20 janvier 1918. 



