SÉANCE DU 27 JANVIER I9l3. 20,3 



propriété d'être complet dans l'intervalle entier. La réponse à cette question 

 est donnée par le théorème suivant : 



Si un système de fonctions 



(') ?i, <p», •■■> <p«, ••• 



orthogonal et normal sur l'ensemble de points A (Mes A > o) e.v/ orthogonal 

 sur l'ensemble B(MesB > o), B étant une partie de A, ce système ne peut pas 

 être complet sur l'ensemble A. 



2. Posons maintenant une question un peu différente. Soit un système 

 de fonctions 



(2) ?,, <p s y„. ... 



orthogonal, normal et complet sur l'ensemble A, et l'autre système 



(3) 4„ <|i, +., ... 



orthogonal, normal et complet sur l'ensemble A, [Mes A, >• o, Mes A, >• o, 



MesD(A,, A 2 ) = o]. Alors, d'après le théorème précédent, le système 



f\- Jtt ■ ■ ■ 1 Jn- • - ■ > 

 défini par les conditions 



/„ = y.Q n sur l'ensemble A,, 

 /„=P4'« sur l'ensemble A,. 



est orthogonal, normal, mais incomplet sur l'ensemble A,-t-A 2 . Il serait 

 intéressant de trouver les fonctions faisant ce système complet. 

 Or on voit facilement que les fonctions 



/;, /;, ..., /,;, ..., 



définies par les conditions 



/jf— fi<p a sur l'ensemble A,. 



/* = — ai/,, sur l'ensemble A 2 , 



orthogonales et normales sur l'ensemble A, -+- A 2 , sont orthogonales à toutes 

 les fonctions/ 1 ,,. 



On peut démontrer que le système 



(4) /,. /,*. /„ /; /,, /,;, ... 



