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est complet sur l ensemble A , -+- A„. En effet, nous aurons pour une fonction 

 quelconque de carré sommable 



V al + a,, 2 = "V a;, 4- (3*= / / 2 ^r + / /- dx = i f 2 dx, 



"'Ai "A, 



"« = / //« ^' = XX » + PPm "', = f ffn <- lr = $0-11 — «fin- 



A 1 + A, "A,^A., 



Donc le système (4) est complet. 



De même, on peut considérer un cas plus général. Supposons que nous 

 avons les systèmes de fonctions 



(5.) 

 (5.) 



(On) 



orthogonaux, normaux et complets respectivement sur les ensembles 

 A,, A,, ..., A„[MesD(A,-, A /( ) = o, MesA,->o|. 



Prenons le tableau des nombres orthogonaux et normaux 



«,!, c.,,, ..., <X ln , 



c, -n\i ^n»' • ■ • i «*««■ 



On voit facilement que le système de fonctions 



( 3 ) ./ 1' y 2i • ' • i J un 



définies par les conditions f nk+i = a./ li , z nli+i (//, i = i, 2, ...,/?; £ = o, i, 2, ...) 

 (sur A A ) es^ orthogonal, normal et complet sur l'ensemble A, +A 2 -f- . . . -t-A n . 



3. Le théorème reste exact si nous supposons que le nombre des 

 ensembles A est infini. Donc il devient possible de construire des systèmes 

 complets de fonctions orthogonales sur l'ensemble de mesure ce et de repré- 

 senter par une série de Fourier toute fonction à carré sommable sur cet 

 ensemble. 



On peut donner un exemple simple. Prenons comme A/, l'intervalle 



[(/j — i)-n, /î~], comme o /im la fonction i /-sinm.r; alors en donnant arbi- 



