296 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Ce résultat subsiste en général, quelle que soit la ligne envisagée (plane 

 ou gauche). 



Je dois cette remarque à l'obligeance de M. Hadamard, qui a bien voulu 

 me signaler une proposition de son Mémoire classique : Recherches sur les 

 solutions fondamentales et l'intégration des équations linéaires aux dérivées 

 partielles (Ann. de l'Ecole Normale supérieure, 3 e série, t. XXI, 1905, p. 108- 

 1 10), dont on peut tirer, comme corollaire, le résultai annoncé. 



Ici, toutefois, je vais l'établir par une légère modification du procédé 

 suivi dans mon Mémoire. 



2. Soient : L une ligne plane ou gauche, X un trait de L, O un point 

 intérieur à X, .r, la longueur d'un arc de A mesurée (positivement en un 

 certain sens) en partant du point O, p et r respectivement la courbure et la 

 torsion en un point quelconque de X. Supposons que la ligne L soit le siège 

 d'une distribution newtonienne de densité linéaire u. (holomorphe sur 

 l'arc X). 



Introduisons un système de coordonnées curvilignes a;,, a? 2 , x 3 tel que 

 les équations de X soient ce, = 0, 2^ = 0. Plus précisément, nos surfaces 

 coordonnées cc 3 = const. seront les plans normaux à X; a?,, cc 2 étant des 

 coordonnées rectangulaires dans ces plans (rapportées à la normale princi- 

 pale et à la binormale à X). 



Avec de telles variables, le carré de l'élément linéaire ds de l'espace 

 ambiant a l'expression 



(1) //s- — V a rs //r,.(t.,\ (a rs =a sr ), 



■^™ rs 



1 



OÙ 



a„=i, «22=1, .' iI =(i-p^,) , + ; ! ('f; + -'i)- 



(/,.,=; O. (I x ; = T.'',,, «23 = — 7X,. 



■i 



Désignons par a, a ( " ; , Au ='V a {rei -\ — ^ — 3 respectivement le discri- 



1 



minant de la forme (1), les éléments réciproques des éléments «„, et le 

 paramètre différentiel du premier ordre d'une fonction u des variables cc { , 



On a 



I' 1 -' 1 , ''''■',' 



(' — P-'-i)- n — o.r, 



,.■«) = - ryV ^ , Œ <» _-— , 



(i— o.r.,) - (,_p ;< .,,J (1 — paji)* 



