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ACADEMIE DES SCIENCES. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les réseaux dérivés. 

 Note de M. G. Tzitzéica. 



On pourra faire un progrès notable dans l'étude de l'équation de Laplace, 

 si importante pour tant de questions de géométrie infinitésimale, lorsque 

 l'on pourra donner une forme géométrique, par conséquent intuitive, aux 

 propriétés déjà connues, dues en grande partie à M. Darboux. Voici dans 

 cet ordre d'idées quelques résultats qui méritent, il me semble, l'attention 

 des géomètres. 



I . Considérons un réseau conjugué {u, c) situé dans un S„ (espace linéaire 

 à n dimensions) et décrit par le point x de coordonnées projectives 



[, 2. 



')• 



Dans quel cas un point x du plan tangent de x décrit-il aussi un réseau 

 conjugué ; c'est-à-dire, les x t vérifiant l'équation 



(i) 



à-.r djc , d.r 



- — r- + a — — +- b — ha= o, 



<)uo\' Ou (h- 



comment devra-t-on choisir les coefficients de l'expression 



(2) 



.r, — p 



dx t dx t 



du 



dv 



rx„ 



pour que les a?- vérifient une équation de la même forme que (i)"? Il y a 

 deux cas différents, suivant que l'on a n > 3 ou n = >. 

 Dans le premier cas lésa?; sont de la forme 



(3) 



x t =. 



Or, âr r 

 X l ~du~ ~dv 



1 lit dï 



9 de, ào, 



2 du dv 



9, et 9 a étant des solutions particulières de (i). Dans le cas où n = 3, il y a 

 deux catégories de réseaux (x'), décrits par des points du plan tangent 

 de (x) : une première catégorie est définie, comme dans le cas précédent, par 

 les expressions (3); une autre catégorie est définie par une relation assez 

 compliquée entre les coefficients de (2). Nous appellerons les réseaux de 



