SÉANCE DU FÉVRIER I9l3. 3^5 



la première catégorie réseaux dérivés du réseau (x). Ces réseaux se dis- 

 tinguent de ceux delà deuxième catégorie par une propriété caractéristique. 

 A savoir, si l'on considère les réseaux (ce,) et (x_ t ) déduits de (x)par la 

 méthode de Laplace et les réseaux (x\)et {x'_ t ) déduits delà même manière 

 de (x'), alors la condition nécessaire et suffisante pour que les points r\ 

 etx'_ t appartiennent aux plans tangents en x K et x_, respectivement, est que 

 le réseau (x') soit dérivé du réseau (x). 



2. Les réseaux dérivés précédents sont des cas particuliers de réseaux 

 bien plus généraux, définis par les expressions (m, n) de M. Darboux 

 (Théorie des surfaces, t. II, p. 169). Pour écrire une de ces expressions, 

 j'emploie la notation suivante : 



d'6 



i)u ,d\ 



= fl« 



:i + k- 



( )n aura alors 



(p, g) = 



e\, 





Ur pH ^Ol i>2 • 



<i r ï y 



5.:; 



','n 



J U I 



Kl 



''u. 



'a>i 



'aq 



G', 6", ..., ¥ x) étant des solutions de (1), linéairement indépendantes. Si 

 l'on prend dans l'expression précédente pour x à tour de rôle les coor- 

 données x i du point x, on obtiendra un réseau conjugué, que nous appel- 

 lerons réseau dérivé d'ordre r. On a r -+- 1 réseaux dérivés d'ordre /-. Je 

 précise la suite des réseaux dérivés des différents ordres de la façon 

 suivante. Je suppose d'abord que pour tous les réseaux dérivés d'un 

 même ordre r les solutions Ô', 0", . . . , r sont les mêmes ; ensuite, que pour 

 passer de l'ordre /-au suivant, j'ajoute une solution nouvelle 6 (r+,) et je garde 

 les autres. 



On a d'abord le résultat suivant : Tous les réseaux dérivés d'un même 

 ordre r forment une suite de Laplace. D'une manière plus claire, les réseaux 

 définis par les expressions (r — ?•', /•'), (/•—/•' — i,r'-t-i) sont les deux 

 réseaux focaux d'une congruence de droites. Ce résultat montre d'une 

 manière précise la relation réciproque des réseaux dérivés d'un même ordre. 



En voici maintenant un autre qui établit une relation entre les réseaux 

 dérivés d'ordres successifs : Le point qui décrit le réseau défini par (r — /•', /•'' > 

 se trouve sur la droite qui joint les points définis par (r — r', r' — 1) et 



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