SÉANCE DU 3 FÉVRIER IC)l3. 3;n 



craies 



ff(s\dM, j ïiz)rlz 



ont toujours même valeur, quel que soit le contour fermé C, tracé dans 1). 



On peut affirmer alors que g(z) ne diffère de/(; ) que par une fonction 

 holomorphe dans D. 



On voit donc que le .théorème de Morera nous permet de distinguer, 

 dans l'ensemble des fonctions _/(-), continues et non holomorphes, une. 

 fonction d'une autre, mais seulement à une fonction holomorphe prés. 



Pour achever de déterminer f(z) il suffit de se donner les valeurs 

 de /(s) sur un arc de courbe L. 



Ainsi : une fonction de variable complexe f(z), continue, est parfaitement 

 définie par les valeurs I des intégrales (i) et par la suite des valeurs que /('•) 

 prend sur un arc de courbe. 



On saisit tout de suite la grande généralité de ce mode de définition : à 

 la continuité près, la fonction f(z) est absolument quelconque; elle peut, 

 par exemple, se réduire à une simple fonction réelle des deux variables 

 réelles x et y. 



2. Mais, avec ce mode de définition, il est naturel de se poser la question 

 inverse : à quelles conditions doit-on soumettre un ensemble de nombre I 

 pour que, étant donné cet ensemble, on puisse être certain de l'existence 

 d'une fonction f(z) répondant à l'équation (i)"? 



Je n'examinerai pas ici cette question délicate, le but de cette Note étant 

 de faire connaître, comme application de la définition fonctionnelle des 

 f(z), une classification de ces fonctions, en prenant comme critérium 

 l'extension d'une propriété fondamentale des fonctions analytiques. 



Soient h, (s) et A 2 (z) deux fonctions holomorphes définies dans deux 

 domaines, D, et D 2 , séparés par une ligne rectifiable ap\ Si h, (z) et h. 2 (z) 

 sont continues sur a (3 et prennent sur cette ligne les mêmes valeurs, la 

 fonction h(z), égale à A,(z) dans D, et à h 3 (z) dans D 2 , est holomorphe 

 dans le domaine D, -+- D 2 . 



J'exprimerai ce théorème (dû à M. Painlevé) plus brièvement en disant 

 que toute fonction holomorphe est prolongeable par continuité. 



Soit maintenant f(z) une fonction de variable complexe (il ne s'agit 

 plus de fonctions holomorphes) continue et rentrant, par sa définition 

 générale, dans une classe de fonctions bien déterminée s. A quelle condi- 

 tion cette fonction f(z) est-elle prolongeable par continuité? 



