'$-}$ ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En d'autres ternies : si deux fonctions de la classe S, définies une de 

 chaque côté d'une ligne rectifiable L, prennent la même suite continue de 

 valeurs sur la ligne L, peut-on, par la suppression de la ligne L, affirmer 

 que dans la région totale, la fonction ainsi obtenue appartient à la classe s? 



La définition fonctionnelle des /(s) nous permet de donner une réponse 

 précise à cette question : 



Pour qu'une fonction continue f(z) soit prolongeable par continuité, il 

 faut et il suffit que l'opération fonctionnelle soit linéaire. 



Ainsi se trouve définie, dans l'ensemble des fonctions f( z ), une famille 

 de fonctions continues parfaitement caractérisées par la propriété an prolon- 

 gement par continuité. 



En particulier, pour la classe des fonctions holomorphes, l'application de 

 notre proposition fondamentale est immédiate, au moyen du théorème de 

 Morera. Cela nous donne une démonstration nouvelle, et très simple, du 

 théorème de M. Painlevé. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Détermination de toutes les fonctions permu- 

 tables de première espèce avec une fonction donnée. Note ( ' ) de M. Joseph 

 Pérès, présentée par M. Hadamard. 



1. M. Yolterra a montré (-) l'intérêt que présente, en particulier, pour 

 la résolution de certaines équations intégrales, la question suivante : déter- 

 miner toutes les fonctions permutables de première espèce avec une fonction 

 donnée. Il a résolu cette question dans le cas où la fonction donnée est du 

 premier ou du deuxième ordre ( 3 ). 



Je résoudrai ici, par une extension convenable de sa méthode, le même 

 problème dans le cas général où la fonction donnée est d'ordre /; -+- i . 



2. Soit donc f(x, r) la fonction donnée d'ordre n -+- i que nous suppo- 

 serons continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre n-\-i inclus. Nous 



(') Présentée dans la séance du 27 janvier 1 91 3. 



(-) Voltkrra, Rend, dei Lincei . 17 avril 1910 et 5 mars 191 1. 



( 3 ) Cf. Voltkura, loc. cit. Le fait que /(.r, y) est d'ordre n -t- 1 peut s'exprimer 

 ainsi : f et ses dérivées jusqu'à l'ordre n — 1 sont nulles pour a; = y. Ses dérivées 

 d'ordre n sont, au contraire, différentes de o pour x =y. 



