SÉANCE DU 3 FÉVRIER IO,l3. 379 



pourrons, grâce à deux transformations indiquées par M. Volterra, 

 supposer que 



(a) toutes les dérivées de /jusqu'à l'ordre n — \ inclus sont nulles pein- 

 ai y; 



('') 



à"f(jc.r) 

 à v" 



ô»f{x,y) ' 

 ÙY"~ i ô.r 



- ( l)H à«f(x.y) _ 

 ~ ■ ' ' _ { ' d.r" 



(c) les dérivées d'ordre n -h 1 de/ sont nulles pour x — y. 

 Si alors a>(a?, y) est une fonction permutable avec /', on aura 



(1) flM)AS,y)'%=ff{*,Z) 9 (Z,y) l %=*(*,y 



De là on déduit aisément que <J> {x,y) satisfait aux conditions : 



(A). $(a?, v) et ses dérivées jusqu'à l'ordre n inclus sont nulles pour x =y. 



f, 



}. "' F(Ç, v)— G(jt, ï) ,V'- ' ' r/£, 



où F, G sont des fonctions connues, finies et continues. 



Inversement il est facile de voir que, si l'on connaît la fonction $ la 

 plus générale satisfaisant à (A) et (B), on en déduira, après simple réso- 

 lution d'une équation de Volterra de deuxième espèce, la fonction <p permu- 

 table avec f la plus générale. 



Le problème posé est donc ramené à la résolution del ' équationintégro-diffé- 

 rentielle (B) sous les conditions (A). 



3. En faisant dans l'équation (B) le changement de variables v=y — x, 

 u = x, elle prend la forme 



Vd.' t*'/ /\6>c «M \()v du; au 



«0. 



A, a,, ..., a„ étant des constantes faciles à évaluer et C$(u, v) le second 

 membre de (B). Il faut trouver une solution de l'équation (B') nulle ainsi 

 que ses dérivées jusqu'à l'ordre n pour v = o. 



Mais la résolution de (B'), où le deuxième membre est supposé connu, 



