38o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



est très simple. En posant 



si'* p^.\ ->'-.n — 1 



(.) E*(m, i')= / di t dl, . . . f d'c,^^(i„,\-).. 



<- Il l «- 



et les nombres N,- étant détinis par la décomposition en éléments simples 



N, 



2, 



tc{ V— ajU ) ( V — a,U). . . ( V — «„ U ) — U"- 1 *d t ( V — a ( . U ) 



i 



la solution de l'équation (13') ayant des dérivées nulles jusqu'à l'ordre n— i 

 pour r = o est 



il 



(C) $(«,(>)— g{9)+ 2 N,/ AiE^tB + a^c — 7i),ïi], 



g- étant une fonction arbitraire de p nulle ainsi que ses dérivées jusqu'à 

 l'ordre n — i pour v = o. La $ cherchée satisfait donc (C) et inversement, 

 comme on le constate aisément, pour que la solution de (C) vérifie (13') 

 sous les conditions imposées, il faut et il suffit que la n Ume dérivée de g soit, 

 elle aussi, nulle. 



4. Nous sommes finalement ramenés à la résolution de 



AlEflrttt + aïf*- — y)), Y)] (A = i), 







E.J, ayant la valeur (2) et g étant une fonction donnée arbitraire sous les 

 restrictions précédentes. Cette équation est intégro-différentielle puisque, 

 dans E$, apparaissent les dérivées de 4> d'ordre n. Sa résolution est pourtant , 

 je vais le montrer, tout à fait analogue à celle d'une équation de Vol/erra de 

 deuxième espèce. 



Si, en effet, on cherche à résoudre l'équation (C) par une série de puis- 

 sances du paramètre A 



(D) * +A*,+ ...4-A'* /( + ..., 



on trouve que, en dernière analyse, les $ p s'expriment en fonction des seules 

 dérivées n iemes de g. On obtient alors aisément des limites supérieures du 

 module des $,, en fonction des modules maximum des dérivées « ièu,es de g, 

 et l'on en déduit que la série (D) est une fonction entière de A. (Elle converge 

 comme une série exponentielle.) 



