SÉANCE DU IO FÉVRIER IO,l3. 435 



où a n est un polynôme de degré k de n, et fa fonction entière 



n -0 



où ■}- = e" s{n) et g(n) est une fonction positive continue croissante possédant 



n .... 



des dérivées des deux premiers ordres, la croissance de la fonction entière 



30 



V(x)=^a a b tt x" 



est déterminée par l'expression 



F(x) 

 li'ii tt-t — , — -=const., 



.r=. L/( J, )] /i 0(' r ) 



où r ordre de grandeur de la fonction entière f( x) est égale à V ordre de 

 grandeur de la fonction inverse de e s{n) . 



En démontrant ce théorème, nous avons aussi montré que la méthode de 

 M. Lindelôf ( 1 ) concernant la détermination des valeurs asymptotiquesdes 

 fonctions entières est applicable non seulement dans des cas énumérés par 



00 



lui, mais chaque fois que la fonction entière est de la forme g(3;) = ^A».r", 



comme dans le théorème ci-dessus. 



Ce théorème contient comme cas particuliers les théorèmes suivants : \ 



Soit donnée une fonction entière 



30 



i 



où log(Z>„) " = g(n) est une fonction positive continue croissante possédant 

 des dérivées des deux premiers ordres, en désignant par $ k) (oo) la dérivée de 

 Ç(x) et par f(x) une fonction d'ordre de grandeur de la fonction inverse 



de e sl "\ on a 



a> k GW(x) 

 lim \ lk ,., — " =const. 



Donc une fois donné l'ordre de croissance de la fonction, on peut déter- 

 miner celui de la dérivée. 



(' ) E. Lindelôf, Mémoire sur la théorie des fonctions de genre Jini(Acta Societatis 

 scientiarum fennicœ, t. XXXI, n° 1, 1901) et Sur la détermination de la croissance 

 des fonctions entières, etc. (Bull, des Sciences math., iç;o3). 



C. R.. 1910, 1" Semestre. (T. 156, N° 6.) 56 



