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Considérons dans le plan desx,y une aire (D) limitée par un contour (G). 

 Couvrons l'aire (D) d'un réseau de triangles formé en menant d'abord des 

 droites équidistantes, parallèles aux axes de coordonnées et en coupant 

 ensuite par une série de diagonales les carrés obtenus. Les triangles qui 

 bordent la frontière seront irréguliers, mais cela ne modifie pas nos conclu- 

 sions qui resteraient exactes pour tout réseau de triangles n'ayant pas 

 d'angles obtus. Je ne m'occuperai d'ailleurs ici que de réseaux réguliers. 

 Je suppose qu'à tout nœud M (a?, y) du réseau on fasse correspondre une 

 variable z Xtï . Chaque système de valeurs de ces variables détermine une 

 fonction u (ce, y), qui, sur les nœuds, est égale à s œy et qui à l'intérieur de 

 chaque triangle est linéaire en ce et y. La fonctions (^',y) serait repré- 

 sentée par une surface polyédrale à facettes triangulaires. 



Pour cette fonction, l'intégrale de Dirichlet étendue à l'aire (D) 



-/m: 



{% 



dx dy 



est égale à une forme quadratique des variables z Xtï . On a, en désignant 

 par h la distance des parallèles successives, 



.!(«) = F( = )=i[(^.,-=x^.,) 2 +(^,v-=x.y ± /,) ! ]. 



Supposons données les valeurs des variables : xy qui correspondent aux 

 nœuds de la frontière, et cherchons à déterminer les autres variables de 

 manière à rendre minima la forme quadratique positive V(z). On aura, 



pour tout nœud intérieur, — — = o, c'est-à-dire 



" 3 X, \ 

 ' ' ) z x.) J ( z x-h,y -+- s x+h,y + z x,y-/i + "a'..v4 à) =r °- 



L'équation (i), dont la forme limite est évidemment l'équation de 

 Laplace, met immédiatement en évidence une propriété importante : la 

 valeur de z X} , est comprise entre la plus petite et la plus grande des quatre 

 valeurs contiguës z x±/l } ., z x . } . ±/t . Ce résultat correspond évidemment à la 

 propriété des fonctions harmoniques de n'avoir ni maximum ni minimum 

 à l'intérieur du domaine (D). 



Le discriminant de la forme F(z) est nul, mais tous ses mineurs princi- 

 paux sont différents de zéro, car cette forme positive ne s'annule que si 

 toutes les valeurs des variables z sont égales en Ire elles. 



Le système (i) peut donc être résolu quand on suppose données les 

 valeurs des variables z à la frontière. Désignons par £, Y] les coordonnées 



