SÉANCE DU IO FÉVRIER I9l3. 44l 



que ( 3 ) soit un invariant intégral du système réduit 



(4) PQ ïx7\- dt () * 



il faut et il suffit que 



(5) ^ N,-, ,. O./-,, . . . O. '7,3 09, . . . 00 a 



«h'< u/i invariant intégral (a + |5 )-uple du système proposé (1). 



Ce théorème se démontre en considérant oj, .. ., 9* comme de nouvelles 

 variables venant remplacer les variables x,, . . ., a- a ; l'hypothèse 



3<pJ = o, . . ., ooi = o 



est introduite ensuite, grâce au calcul symbolique propre à la théorie des 

 invariants intégraux ( 2 ). 



La forme de l'invariant (5 ) montre immédiatement que les conditions 

 cherchées ne dépendent pas du choix des (n — a) variables indépendantes 

 au moyen desquelles on exprime la variété invariante ( 2). 



II. Soit M un multiplicateur ( de Jacobi ) du système proposé ( 1 ). Il résulte 

 du théorème précédent que 



M 



(6) 



à<?, Or,) 



l)(J t . ..., .x a ) 



est un invariant intégral du système réduit (4); dans (G), on a exprimé 

 les a?,, ..., x a en fonction de x a ^ n . . ., x n et /. 



~d{®„ . . ., o g )" 



Le coefficient M'seM 



est un multiplicateur de (4); 



_à{-'-t c a )_ 



donc, si ce multiplicateur M' est indépendant de I, l'expression 



M'Y (— i)'[X,-]àr a+ i . ■ • 0J\- 1 fai-i-t ■ ■ ■ ^>:, 

 a + i 



est une différentielle exacte (n — a — 1 )-uple (au sens de H. Poincaré ). 



( ' ) Dans le système (4), les crochets servent à indiquer qu'on a remplacé :c u . . ., x a 

 par leurs valeurs en fonction des variables conservées ar a+ i, ,...x n , t. 



( 2 ) Ce théorème se montre très utile dans l'étude des ensembles ergodiques ou 

 microcanoniques: Voir L. Boltzmann, Silzungsberichle, Wien, 1871, p. 679-711, 

 et C. Maxwell, Transactions Philos. Society, Cambridge, t. XII, 1879, p. 547-">7"- 



