SÉANCE DU 17 FÉVRIER ip,l3-. 5o3 



.'{. Cas des figures planes. — Si l'on suppose z = X, == o, les équations ( A | 

 et (a) sont satisfaites et il reste quatre équations (B), (C), (fi), (y)donnant 

 x,y, £, y) en fonction de s et de a. 



Nous pourrons écrire les équations (B) et ((3) 



(B') / j^-i^ \.r -2) y ' + (y — rO.Vl— ^•" ? 4-/ ,i )[a+V(r)]jrf<y = o, 

 (P") /' j^^[;-.r)r-Hrn-.»Mr/ |-(-"' -4- Yl ">) [a + V(r)] J eft r=o, 



r/ et a désignant des constantes. 



Il est inutile d'écrire ici ces équations quand on prend d'autres variables 

 indépendantes que les arcs et, en particulier, quand on prend comme varia- 

 bles indépendantes .r et :. 



\. Cas particuliers. — Lorsque V(V)est un polynôme ne contenant que 



des puissances positives et paires de r, les équations générales se réduisent 

 à des équations différentielles ordinaires, car les intégrations se ramènent à 

 des intégrales de la forme 



/ :'/'•/■/''" da, f .n'y'' z" ds 



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qui sont des constantes. A la lin des calculs, il faudra identifier les valeurs 

 trouvées pour ces constantes, avec celles qu'on leur aura provisoirement 

 attribuées. Le cas 



V(r) -— C/-M- G' (Cet C constants) 



est élémentaire, car, dans cette hypothèse, le champ de forces créé par 

 chaque fil est un champ de forces centrales proportionnelles à la dis- 

 tance. 



Quand un fil homogène -fermé est soumis aux répulsions mutuelles de ses 

 éléments, le cercle est toujours une figure d'équilibre possible, comme on le 

 voit a priori et comme on le vérifie facilement sur les équations. 



Les formules générales (B') et ( [3') permettent de résoudre le problème 

 suivant : « Trouver deux courbes planes et une fonction de forces correspon- 

 dante V(.r) telles que deux arcs quelconques pris l'un sur l'une des courbes, 

 l'autre sur l'autre, et considérés comme des fils flexibles, ayant leurs extré- 

 mités fixes, soient en équilibre sous l'influence des actions mutuelles de 

 leurs éléments ds et r/o-». 11 faut pour cela que les éléments différentiels des 



