SÉANCE DU 17 FÉVRIER 10,13. 529 



envisagée dans une certaine région H du plan, où les coefficients sont des 

 fonctions de x et de y, b gardant un signe constant. Ces propositions con- 

 cernent la nature des solutions, qui est intimement liée à la nature des 

 coefficients ('). 



2. Lorsque le coefficient b peut s'annuler, avec ou sans changement de 

 signe, un examen particulier devient nécessaire : soit, par exemple, 

 l'équation 



' - „ àz ... 



(2) , s — xp — =r o p entier impair. 



La détermination d'une solution régulière, au moyen de ses valeurs sur 

 deux contours situés de part et d'autre de Oy, se ramène à la résolution 

 d'une équation de Fredholm de première espèce : en fait, on forme deux 

 solutions, à droite et à gauche de Oy, qui se raccordent, ainsi que leurs 

 dérivées premières, sur l'axe des y (problème du raccordement, /oc. cit.). 

 On peut se poser la question sous une autre forme, comme l'a fait 

 M. Holmgren pour l'équation de la chaleur : étant donnée une solution 

 de (2), régulière d'un certain côté de Oy, quelle doit être la nature des 

 valeurs qu'elle prend sur Oy pour qu'on puisse la prolonger de l'autre 

 côté (problème du prolongement)? Sa réponse est la même que pour 

 l'équation de la chaleur : il faut et il suffit que ces valeurs de z constituent 

 ce que nous avons appelé une/onction H. 



Ces résultats sont vrais également (et d'ailleurs beaucoup plus immé- 

 diats) quand/; est pair et s'appliquent même à l'équation 



(') Au sujetde cette équation, M. Holmgren adonné, dans les Arkiv fur Matemalik. 

 Astronomi och Fysik (BdVII), quelques propriétés relatives au maximum et au mini- 

 mum des solutions et à leur unicité. J'ai eu occasion, au cours de mes recherches, 

 d'utiliser des remarques un peu plus générales, que je donne ici. Si l'on suppose_/:=o 

 et «, b, c continus dans R, sans aucune autre restriction, aucune solution régulière 

 ne peut admettre en un point de K une valeur positive supérieure (ou négative infé- 

 rieure) à toutes les autres. Si b est négatif ou nul, ce théorème est encore vrai, 

 quand on compare la valeur de r en un point à celles qu'elle prend aux points d'or- 

 donnée inférieure ou égale. On établit également l'unicité d'une solution de (1) prenant 

 des valeurs données sur un contour continu : i° fermé si b est de signe, variable; 

 2 ouvert, situé au-dessous d'une caractéristique, et limité à ses points d'intersection 

 (en nombre pair) avec celle-ci, si b est négatif ou nul. Dans ces deux cas, d'ailleurs, 

 la solution ne peut dépasser les valeurs extrêmes qu'elles prend sur le contour 

 (quand c a un signe constant les résultats sont plus précis). 



