53o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



a étant un nombre positif quelconque et s pouvant changer de signe quand 

 on traverse Oy. 



3. Si maintenant nous envisageons l'équation 



(3) ' pL-*,**^- à* f 



v ' dx- à/ dx J 



dans laquelle p est impair, le problême du raccordement peut aussi, par la for- 

 mation d'une solution fondamentale suivant la méthode de M.Hadamard('), 

 être ramené à la résolution d'une équation de Fredholm de première 

 espèce. Quant au problême du prolongement, il conduit au résultat suivant, 

 quel que soil p : si les coefiicients a, c, f sont des fonctions H dans une 

 région traversée par Oy, la condition nécessaire et suffisante, pour qu'une 

 solution z, définie d'un certain côté de Oy, soit prolongeable au delà, est 

 que z(o,y) soit une fonction H sur la portion de Oy envisagée ( 2 ). 



4. .Nous avions déjà établi ce résultat avec d'autres quand /> = o(ÏNote 

 du 28 octobre 191 2). Les autres propositions se généralisent aussi : quand, 

 dans l'équation (1), le coefficient b garde un signe constant dans lî, ou 

 s'annule le long de courbes H non sécantes : i° si les coefficients sont des 

 fonctions II en y, les solutions régulières le sont également, et la condition 

 donnée, dans la troisième Note citée, pour le prolongement d'une solution 

 est exacte, quelle que soit la courbe H envisagée ; 2 si de plus les coeffi- 

 cients sont analytiques en ne, les solutions le seront également; 3° si les 

 courbes où b s'annule sont analytiques, et si les coefficients de (1) sont 

 analytiques en y, toute solution, prenant des valeurs analytiques sur deux 



(') Comptes rendus, ["mai 191 1. 



( 2 ) Le problème de Caucliy, quand on se donne les valeurs de ; et de — sur Oi . se 

 résout facilement pour l'équation (o) en partant de la formule 



J a V, Zà(/,lf q*Pi dY k 



qui donne la solution de l'équation 



à 2 z Oz 



-^-xp 3- =/(.*, y.) * = /, + » 



s'nnnulant sur < h', ainsi mie -r— • 

 ' dx 



