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Je me propose ici de donner quelques théorèmes que j'ai démontrés en 

 étudiant les polynômes f(x) — p x"-hp l x' l ~' -t- . . . -\-p n aux coeflicients 

 réels qui satisfont à deux équations linéaires 



(') «o/>o + «i/',+ •••+«,>/>„ =<x, Po/>o-i-(3i/>i-+- ••■ +?«/'« = (3, 



a,, a, (3,-, fi étant des nombres réels, assujettis aux conditions que deux au 

 moins des déterminants a^j — ocyp,-, a,-[3 — aj3 ( - sont distincts de zéro. 

 Indiquons par w(<p) et W|(<p) les fonctions linéaires 



w(9) = a y + . .. + * n q n , io, (9) = (3 <7<>-t- . . . + f3„7„, 

 les nombres réels y ( étant les coefficients d'un polynôme 



a{x) — q a x"+ ...-+- q„ 

 de degré = n. Alors les équations (1) peuvent être écrites ainsi : 



«(/) = *, w>(/)=p. 



Nous nommerons le plus grand écarl de zéro dans l'intervalle fermé (a, b) 

 du polynôme f(x) aux coefficients réels le nombre positif Ly, assujetti à la 

 condition f 2 {x)^h 2 y(a = x^b), le signe = ayant lieu au moins pour une 

 valeur de x. 



Il est aisé de démontrer qu'il existe un minimum L > o des nombres Ly- 

 pour les polynômes satisfaisant aux conditions (1), c'est-à-dire qu'il existe 

 au moins un tel polynôme pour lequel Lf== L. 



Nous nommerons ces derniers polynômes les polynômes qui s'écartent le 

 moins possible de zéro dans l'intervalle (a, b) ou, pour abréger, les poly- 

 nômes (m) dans l'intervalle (a, b). 



En généralisant la méthode donnée par W. Markoff dans le Mémoire 

 cité qui contient des résultats importants et malheureusement très peu 

 connus, on arrive aux théorèmes suivants : 



Théorème I. — Pour que le polynôme /"('") ^ e ^ e gfé n soit un polynôme (m) 

 dans l'intervalle (a, è), il faut et il suffit qu'il n'existe pas un polynôme de 

 degré au plus égal à n satisfaisant aux conditions : 1" u(g) = w, (g) = o, 

 et 2 tous les nombres fÇx^g^X;), i — 1, 2, ...,/>, ont un même signe, les 

 nombres a^x, <^x.,<^ . . . <^x p ^b étant toutes les racines de l'équation 

 f 2 (x) = h'i, contenues dans l'intervalle (a, b). 



Remarquons qu'on a toujours p^n + 1. 



