SÉANCE DU 17 FÉVRIER IÇ)l3. 533 



Conservant toujours les mêmes notations, introduisons les polynômes 



F( r) 



F(x)=z(x — x t )(x — ,r 2 ) . .. (x — a-,,), F,(x) = — (i = 1 , 2, . . . ,/>), 



X — J i 



alors nous avons les théorèmes qui suivent. 



Théorème II. — Pour que le polynôme '/(ce) dedegrên soit un polynôme (m) 

 dans l' intervalle (a, b), p étant égal à n -+- 1, il faut et il suffit que l'une au 

 moins des trois conditions soit remplie : 1" tous les nombres (— r)'(o(F,)_/(;r ; ), 

 1=1.2, ..., n . + 1, ont un même signe ; i° tous les nombres (— i)'co,(F,)y(a? ( ), 

 i = 1 , 2, . . . , n -+- 1 , o«£ «n même signe ; 3° il existe un entier o <Cj = n -+- 1 yjowr 

 lequel tous les nombres (— i)'[co(F,)a>, (F y ) — a>(F 7 )w, (F,)]y*(x ( ), 1 = 1, ..., 

 / — 1 , y + 1 ,...,« + 1 , on/ un même signe. 



Théorème III. — Pour que f(x) soit un polynôme (m) dans l'intervalle 

 («, b), p étant "S n, il faut que le rang de la matrice 



(2) 



ù>(Fx"-P) r,)(Fx"~P-<) ... Gj 



<ù t {Fx n -P) ',) 1 (Fx"-p-') ... w 



soit égal à zéro ou à un . 



Théorème IV. — Pour que f(x) soit un polynôme (m) dans l'intervalle 

 (a, b}, p étant S net le rang de la matrice ( 2 ) étant zéro, il faut et il suffit que 

 Vune au moins des trois conditions soit remplie : i° tous les nombres 

 (— i)'g)(F,- )_/"(:£,•), 1 = 1, 2, ...,p, ont un même signe; i° tous les nombres 

 ( — 1)' w, (F,- )_/(#;), i = 1 , 2, ■ ■ ., p, ont un même signe; 3° il existe un entier 



<Cj=P pour lequel tous les nombres ( — 1 )' \ co ( Fy) co , ( F,-) — co (F/) co , (F ; )J/(.-f,), 

 « = 1 , 2, . . .,y — 1 ,y -+- 1 , . . ., p, ont un même signe. 



Théorème V. — Pour que le polynôme f(x) soit un polynôme (m) 

 dans l'intervalle (a, b), p étant ^n et F(x) satisfaisant aux conditions 

 ( 1 >(Fx"-r) = o>(Fx n -/>-<) = ... = co(F) = o, co^F^-^^o pour une 

 valeur au moins de 1 = 1. 2, . . ., jo, il faut et il suffit que tous les nombres 

 (— i)'&)(Fi)y(a7j), i= 1, 2, . . ., p, aient un même signe. 



Théorème VI. — Pour que le polynôme f(x) soit un polynôme (m) dans 

 P intervalle (a,b), p étant < n, le rang de la matrice (2) étant égal à 1 avec 

 les conditions u)(Fx n -') f= o, <a,(Fx n -') f=. o au moins pour un nombre 



1 = 1 , 2, . . . , p, il faut et il suffit que tous les nombres 



(-iy[ro(F / )o3 1 (Fx"-i)-w 1 (F y )<, ) (F^-'-)]/(x;) (y=i,3, ...,p) 

 aient un m i me signe. 



