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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions entières iïordre nul. 

 Note de M. Valiron, présentée par M. E. Picard. 



Je me propose de compléter divers résultats que j'ai obtenus précé- 

 demment (' ). Soit/(s)une fonction entière d'ordre nul, M (r) le maximum 

 dumodule pour | = | = r, et r n le module du n iime zéro. On peut trouver des 

 fonctions continues p(œ\ dérivables à gauche et à droite, non croissantes, 

 telles que p (.-r) logo; ne décroisse pas, et que 



l'égalité ayant lieu pour une infinité d'indices. Ceci étant on a 



r" r" .m /'«■pi») 



(i) <M(r) = e«'- f() <e('+ E ' / - dx, 



/-, r, . . . r„ ' /,/- 2 .../„ J p . x 



n étant le nombre des zéros de module inférieur à /•; a compris entre oet i, 



et e tendant vers zéro avec -• Pour trouver une limite précise (c'est-à-dire 



atteinte pour certaines fonctions) pour M (r), j'ai cherché à déterminer p(x) 

 de façon que 



I 



asPW , , , /-Pf'loff/- 



d.v = (i+£) -— — —, — i -, nm£ = o. 



x i-|-p(/-)(p-t-p'rlog/-) ,. = œ 



On est tout d'abord conduit à distinguer deux groupes de fonctions. 



I. Les fonctions pour lesquelles -. — ^— (ou ce qui est la même chose 



° 2 g \ ) est borné supérieurement (*■). Pour ces fonctions on a simple- 

 ment ' 



log M (/•)<(■ + £) *' ^ (n = rPWjî 



\os 2 r 



(') Valiiion, Sur les fonctions d'ordre nid (Mathematische Annalen, Bd. 70, 191 1, 

 p. ^71 ; Nouvelles Annales, 1 9 1 1). Dans ses Mémoires, M. Litllewood se préoccupe 

 surtout de trouver des expressions asymploliques très précises de certaines fonc- 

 tions. 



( 2 ) Une partie des fonctions de cette catégorie a été étudiée par MM. Maillet, 

 (Comptes rendus, igo'i) et R. Mattson (Thèse, Upsala 1905). 



