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par là celle des trajectoires dans l'espace. Par exemple, pour des valeurs fixes 

 de h et de D, les courbes intégrales ne sortiront pas de la partie où k>— h; 

 donc les trajectoires correspondantes dans l'espace ne sortiront pas de la 

 région obtenue en faisant tourner cette partie autour de Taxe des z, ; j'avais 

 déjà, en 1909, terminé la discussion de ces régions, dans tous les cas, mais 

 sans rien en publier. 



A l'intérieur de la partie en question, on a par exemple les courbes que 



Fig. 3. 



M. Painlevé(') appelle trajectoires mixtes, qui ont un point d'arrêt sur la ligne 

 Q, = — A; en les suivant par continuité on découvre une infinité de 

 trajectoires périodiques ayant encore un point d'arrêt sur cette ligne, ce qui 

 donne dans l'espace des trajectoires composées périodiquement de parties 

 identiques. 



L'axe des II, figure comme trajectoire remarquable dans lesensdeM. Pain- 

 levé et si l'on se trouve dans le premier cas avec — i_<d<— , on aura 



g g 



sur cet axe un mouvement amenant le point (R,, z t ) vers le point double 

 (£,, o), où 3 — \/3 < \ <C 3 -t-\/3, mais sans que ce point soit atteint en un 

 temps fini : cela correspond précisément aux trajectoires asymptotiques 

 dans l'espace mentionnées dans la Note de M. Kr. Birkeland ( 2 ) et dont 

 j'ai déjà démontré l'existence pour le cas particulier D = o en 1907 ( 3 ). 

 Pour appliquer celte théorie à la Physique il est nécessaire, d'abord, de 



(') Voir ses Leçons sur l'intégration des équations différentielles de la Méca- 

 nique, 16 e leçon. 



( 2 ) Voir Comptes rendus du 4 novembre 1907. 



( 3 ) Voir mon Mémoire Sur l'aurore boréale, etc., dans les Archives des Sciences 

 p/iys. et nat. de Genève, 1907 (§ 20). 



