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Nous allons voir que ce beau théorème de M. Darboux (') est un cas 

 particulier d'un théorème très général qui, à son tour, n'est qu'une inter- 

 prétation géométrique d'une remarquable propriété des caractéristiques 

 des équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre en deux 

 variables. 



Soit 



(i) F(x,y,s,p 1 < ) ,p<>i) = P(x,y,z)p i o + Q(x,y,z)p<>i— R(x,y,z)=o 



une telle équation, où 



(2) P*=dSlF (<-Hr* = i,2,3,...). 



Ses caractéristiques C (d'ordre zéro) sont définies par le système 



— — iL - — 

 (6] P ~ Q - R " 



Soient 

 Ca) y=y{*), s ==*(*) 



les équations d'une caractéristique C„ déterminée. Pour toute inté- 

 grale s = z(x, y) de (i), qui contient C , les fonctions (2) sont des fonc- 

 tions de la variable r seulement le long de C„. On peut les calculer de 

 proche en proche, moyennant les équations 



( 5 ) dz—p^ <t.r + />oi dy, dp ik =p i+uk dx -+- p,.,, +l dy («'-+- k — 1, 2, . . . ) 



et 



cSF ô 2 F 



r=o, -^- = 0, 3— ; — o, ..., 



°y °)'~ 



où -rr- r est la dérivée d'ordre /• de F par rapport à y, lorsqu'on y consi- 

 dère z, p l0 , p 0l comme des fonctions de a; et de y. 



En exécutant les calculs, on trouve des équations de la forme 



, f , dp Bl „ 



(G) -^-^«i J P5i + »ii ? oi+c 1 , 



(6') /'io~ e oi/>oi+/on 



(7) ^dr = b '"P' '•"" 



( 7 ) Pi,m—1— e i, m l J , m "+" .//, m ' 



(j' = i,2, .... m; m = 2, 3, . . .), 

 (') Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. 11, p. 3. 



