SÉANCE DU 24 FÉVRIER I9l3. 607 



où les coefficients a h , b t , c,, e 0) , / 01 sont des fonctions connues de x le 

 long de C et b,„, c m , e im f i>m sont des fonctions connues de a; et des p ik 

 (J + i= 1, 2, ..., m— 1). 



On en déduit que : C (4) est contenue dans une infinité de caractéris- 

 tiques C, du premier ordre y (x), z(x),p l0 (x), p ot (x ), qui dépendentd'une 

 constante arbitraire; chaque C, dans une infinité de caractéristiques C 2 du 

 second ordre y (x), ..., p<n{x), p 30 {x), p tl (x), p .,(x), qui dépendent 

 d'une constante arbitraire; et ainsi de suite. 



Considérons une caractéristique fixe C,„ , d'ordre m —.1^0 



(8) y{x), z{x), p !k {x) (« + A = i, •.;,..., m — i), 



et quatre caractéristiques C„„ C' m , C' m , C" m d'ordre m qui la contiennent. 

 Ces caractéristiques seront déterminées par le système de fonctions (8) et 

 respectivement par des nouvelles fonctions de x 



Pi,m-i(&), />,>,-,(■'•), PÏ,m-/0»)i P"»i-i(*) (« = o, 1, . .., m), 



solutions particulières du système ( 6), (<>'), si m = 1, ou du système (7), 

 (7'), sim>i. 



La linéarité des équations (6') et (7') nous apprend que les rapports 

 anharmoniques 



[pi, m -i(x), p'i, m - t (x), p* ijm _i{x), p"l m -i(x)] {i=o, \, ...,ni) 



sont tous égaux à une même fonction R(#) de x. Il est tout à fait naturel 

 d'appeler R(.r ) le rapport anharmonique des éléments d'ordre m des caracté- 

 ristiques C,„, .. ., C" m au point x = ,t et la fonction l!(r 1 le rapport anhar- 

 monique des caractéristiques C,„, . . ., C" n . En particulier 



R(«) — [p , m (^), p 0t „, (■<-■)■ l\, «,(•''). p'î,,,A x )\\ • 



mais/» 0im (a?), ■■■iP a „X x ) sonl quatre solutions particulières d'une même 

 équation de Riccati (6), si m = i, ou d'une même équation linéaire (7), si 

 m > 1 ; donc R(#) est une constante ('). 

 Nous avons démontré que : 



a. Le rapport anharmonique de quatre caractéristiques d'ordre mikv de 

 r équation (1). qui contiennent une même caractéristique d'ordre m — 1 , est 

 constant. 



(') On peut même démontrer que cette constante est invariante pour tout chan- 

 gement des variables ■ >■, y, :. 



