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Maintenant, si x, y, z sont les coordonnées d'un point de l'espace, les 

 caractéristiques G de l'équation (i) déterminent une congruence de courbes ^ 

 et les intégrales déterminent les surfaces S de la congruence (lieux de 

 courbes y); les éléments d'ordre r]> o d'une surface S le long d'une courbe y 

 forment une caractéristique C r d'ordre r de l'équation, ayant la courbe y 

 par support. 



On peut donc donner au théorème a la forme géométrique suivante : 



b. Si quatre surfaces d' une congruence de courbes ont un contact d 'ordre 

 m-i^o/e long d'une courbe de la congruence, le rapport anharmonique des 

 éléments d'ordre m des quatre surfaces est constant tout le. long de cette 

 courbe. 



En supposant m=i, on retrouve le théorème de M. Darboux. 



Le théorème b peut s'étendre à des systèmes de courbes et de surfaces 

 bien plus compliqués que les congruences. 



L'équation (i) a des caractéristiques d'ordre zéro (courbes) qui dépendent 

 de deux constantes arbitraires, et chacune de ses surfaces intégrales est un 

 lieu tout à fait arbitraire de ces caractéristiques. Mais tout cela tient à la 

 forme très particulière de l'équation. 



En effet, pour une équation générale d'ordre n 



(9) F (^. y, Z,Plo,Pou ■ ■ • , Pno, P11-UO1 ■■ -'Pou) —O. 



l'ordre le plus bas des caractéristiques est n\ ces caractéristiques dépendent 

 de cinq constantes arbitraires (si n = 1 ) ou d'u ne fonction arbitraire (si n^> 1); 

 toute surface intégrale S est bien un lieu de courbes y, supports des carac- 

 téristiques, mais convenablement c/ioisi. 



Pour ces nouveaux systèmes de courbes y et de surfaces S, le théorème b 

 subsiste, pourvu que m 1 > n. 



Car le théorème a subsiste aussi pour V équation générale (9), pourvu que 

 m — \~n. Cela découle immédiatement des résultats que j'ai donnés dans 

 une Note précédente ( ' ). 



(') Comptes rendus, t. 15a, 11" 13, p. 636. [Page 63J, ligne 9, au lieu de deux, lire 

 trois. — Voir aussi Errata dans le n° 18, p. 866, et dans le n° 24, p. 1 176.] 



