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Deuxième femme. — Considérons le système différentiel 



(7) 



et un invariant intégra 



Y,e>7)' 



1 i-uple 



dt 



(i = i, ..., n) 



(8) 



2'N ( ay h 



où N,, . . ., N„ sont des fonctions de y,, . . ., y„ et /; on a, par hypothèse, 

 en vertu des équations (7), 



h) 



£2"M.r.=« w ' 



/ étant la variable indépendante, on pose 8* = o. 

 La théorie des invariants apprend que (') 



(10) 



2><- 



ofi dt 

 Y, 1 



W<5/ 



est un invariant intégral i-uple du système 

 , n d yt dt , . 



(Il) y / t ■ =-=rfT (1 = 1, 



»). 



t étant la variable indépendante, on pose ôt = o et ot=f o. 



On peut énoncer le lemme suivant : Pour que la forme (10) so*7 une diffé- 

 rentielle exacte, il faut et il suffit que la forme (8) soit une différentielle 

 exacte. Dans la première différentielle on a 8/^0, dans la seconde on a 



II. Extension du théorème d'indépendance de Hilberl ( 2 ). — Pour fixer les 

 idées, considérons l'invariant intégral relatif ( 3 ) i-uple 



<■■' J =2<(J? 



rf dF 



dt dy'r' 



OF 



ôr, + 2'' ^7 *y£ 1, = 2' ( M < ** + Q< W) 



(') Th. De Dondkr, Bulletin de l'Académie royale de Belgique : Classe des 

 sciences, février 1911 (voir spécialement les Chapitres J et VI). 



(-) O. lîoi.z v . Rendiconti del Circolo matematîco di Palermo, t. XXXI, i ei se- 

 mestre 191 1 . 



( 3 ) Th. De Donder, Bendiconti de/ Circolo matemalico di Palermo. t. XVI, 

 1 semestre 1902 I voir spécialement le n° 58 de ce Mémoire). 



