668 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Les réseaux, réciproquement dérivés, s'ils existent, sont contenus dans un 

 espace à trois dimensions. Ils sont tous les deux isothermes conjugués. La 

 droite xx' qui joint les points correspondants de ces réseaux forme une con- 

 gruence W. 



2. Je me propose de démontrer maintenant que les deux réseaux (x) 

 et (oc') réciproquement dérivés sont des réseaux R, c'est-à-dire des réseaux 

 conjugués dont les tangentes forment, toutes les deux, des eongrueneesW. 



A cet effet, il suffit de démontrer qu'il y a correspondance des lignes 

 asymptotiques entre le réseau<(a;) e.l le réseau (O, déduit de (a;) par une 

 première transformation de Laplace. Les coordonnées de i s'obtiennent de 

 celles de x à l'aide de l'expression 



( 9 ) ' i = 77r- bx - 



Nous considérons en même temps le réseau (?) déduit de la même 

 manière de (x') à l'aide de l'expression 



i)v' 



do) i>=™- + b'x: 



<)tt 



Or, le réseau (x') étant un réseau dérivé de (a;), le point :' se trouve 

 dans le plan tangent de H (voir ma Note du 3 février i<)i3), on a donc 



dl dt 



En remplaçant dans cette relation : et r d par leurs valeurs (9) et (10), 

 et x' par sa valeur (2), on trouve une équation de la forme 



P-n + Qj 1- Ra? = o 



ou- ou 



qui, devant être vérifiée par j:„ x 2 , r., et x. (actuellement n = 3), on 

 a P = Q = lî = o. La première de ces trois égalités donne 



(") Pi=p; 



la deuxième et la troisième, par l'élimination de r,, 



/.,,, = S, 



k étant le second invariant (-j- -+- ab — c\ de (1) et S une expression dont 

 nous trouverons immédiatement une autre forme. Écrivons que x' de (2) 



