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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination des fonctions harmoniques. 

 Application au carré. Note (') de M. J. Le Roux, présentée par M. Emile 

 Picard. 



1. J'ai montré (Comptes rendus , 10 février ir)r3)que l'étude de l'intégrale 

 de Dirichlet conduit à la considération d'une équation aux différences 

 finies : 



V ' ) z x.y — T ( "x—li.y -+- z x+h,y ~+~ z x,y—h "+~ s Jc,y+h ) =r °- 



La méthode indiquée s'applique facilement au carré et peut être ensuite 

 étendue à un domaine quelconque. 



Soit (C) un carré dont les côtés, de longueur 2a, sont parallèles aux 

 axes de coordonnées et dont le centre se trouve à l'origine. 



Je le divise en l\n" carrés égaux, de côté h, par des parallèles aux axes 

 et je cherche à résoudre, pour ce réseau, l'équation (1) avec la condition 

 que l'on ait, en chaque nœud (H, r\) du périmètre, 



Ç(lj,Y]) étant une fonction bornée quelconque continue ou non. Les valeurs 

 de '( aux angles du carré n'intervenant pas dans le calcul, on les supposera 

 nulles. On détermine par la formule suivante une fonction d'interpolation 

 F(x, y), qui est égale à z x y sur les nœuds du réseau : 



cli fi) / t — shck)* — 



(2) F(,,jr) = EW-g-^ + B, 



ai/, shw, 



x , , x 



(2/.- + l)7TV 

 cos — 



sli ùi' k — 



/, =n — I 



' a ,i!' "a 



M Ai- HBi. IJsin* 



—* \ CllC),,. sllM ( , / 



k= 1 



«=«-1/ clico* — sliw/,— \ , , 



— \ cli 0)/. shoij 



* = o 



cos 



< = '■-•/ cllr.l', — 



V , V 



s u A .- . 



-*=^ \ Clic.)'/. ' S 11 M/. 



*=1 



(') Présentée dans la séance du i!\ février 1913. 



