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SÉANCE DU 3 MARS IO,l3. 67 1 



On a posé : 



. [ / . ,(î* + i)r . (2A-4-i)tt1 



\<**= 2nlo slV l + Sin —£K- +sia —Tjr |' 



( ui=aJ .log[y/n-sin»^+»;n^J, 



d'où l'on tire 



... i (2^ + l)l0 R (l + V / 2)<-,),.<(2/.'+l);. 



( 2 /. log( 1 4- v/a) < u' A . < £-. 



Les coefficients A/,, B,,, . . . sont donnés par des formules de la forme 



r, — a — h 



1 v< Z(a,n)+K(—a,fi) (2/.+0i:i 



A/.= — >. cos > 



// jï* ■?. la 



r. ~ — u -*- /t 



Par conséquent, l'inégalité |'C(E,Y] )| < M entraine 



|A,|< 2 M. 



2. Quand on fait croître n indéfiniment, le développement de F(x, y) 

 converge, comme une progression géométrique, dans tout carré (C) con- 

 centrique, liomothétique et intérieur à (G). 



Soit F m (x, y) la fonction obtenue en négligeant, dans l'expression de 

 F (a?, y), tous les termes dont l'indice k est supérieur à m. Il est possible de 

 prendre m assez grand pour que les inégalités 



l- r l<.°- \y\<? (o<p<«) 



entraînent, quel que soit n, s étant un nombre positif donné, 



(5) |F(x. j)-F„,(.r,j)|<£. 



Si l'on remplace u> k , (a' k par leurs limites supérieures (4), les fonctions 

 F(x, y), F m (;r, y) se transforment en des fonctions harmoniques V(jj, y), 

 V m (x, y). La fonction V(x, y) est égale à F(x, y) sur le périmètre du 

 carré. L'inégalité 



(6) |V( J -.j)-V„,(x, r)|<£ 



a lieu dans les mêmes conditions que (5). Le nombre m ayant été déter- 

 miné par ces conditions, il est possible de trouver un nombre n\ tel 

 que n > n' entraine 



(7). \Fm{*,y) — V,„(a:, jO|<e. 



