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Réunissant les inégalités (5), ( 6), (7), on a donc pour tojit point de ( < '. | 



(8) |F(.r. y)— V(*,y)|<3s. 



En résumé : 



A tout réseau considéré (R) correspondent : i° un système de nombres 

 z x>y définis sur les nœuds du réseau par la condition de satisfaire à l'équa- 

 tion (1) et de prendre sur les nœuds de la frontière les valeurs de la 

 fonction '((!;, yj); 2 une fonction V(a?, y) harmonique dans le carré cl 

 prenant les mêmes valeurs sur les nœuds de la frontière. Quand la densilé 

 du réseau croît indéfiniment, la différence z x , , — V(.r, v) tend uniformé- 

 ment vers zéro dans tout carré (C ) concentrique, homothétique et intérieur 

 à (G). 



La fonction harmonique V dépend d'ailleurs en général du réseau (R) 

 et ne tend vers une limite déterminée que dans les cas où la fonction 

 bornée £(£, yj) est intégrable ou au moins sommable sur le périmètre du 

 carré. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la meilleure approximation de \ocf s ' hi par 

 des polynômes de degrés indéfiniment croissants. Note de M" e Tu. Tahna- 

 rider, présentée par M. Emile Picard. 



Les méthodes développées par M. S. Bernstein dans ses récents travaux 

 sur la détermination de la meilleure approximation de \x\ par un polynôme 

 de degré donné n (et en particulier lorsque n croît indéfiniment) (') sont 

 applicables à la résolution du même problème pour la fonction | rt? j^^^-» ^ ou 

 s est un nombre entier positif). 



Je me propose d'indiquer les résultats que j'ai obtenus dans cette voie. 



1. Pour déterminer une borne supérieure de la meilleure approximation 



E 2 „|;r|- S " M de ].t?| 2t+l sur le segment (— 1, +1) par un polynôme de 

 degré in (-), on considère le polynôme R,( x) de degré 2«, s'annulant pour 



(') Mémoire couronné par l'Académie de Belgique (2'' série, t. N). et le Mémoire 

 dans les Acla math., t. XXXVU, donl M. Bernstein a bien voulu me communiquer les 

 épreuves.. 



{-) Il résulte des travaux de M. S. Bernstein que E„ | œ | u+1 est exactement de 



l'ordre -4-r- 



