SÉANCE DU 3 MARS 10,l3. 6^5 



Prenant 



ï —2, À, = O,0, )..,= I,4, 



on trouve par exemple 



E 2 „|xP> ' 54 



(2rt) 3 



pour des valeurs suffisamment grandes de n. 



théorie des nombres. — Sur les nombres déclasses des formes quadratiques 

 binaires positives. Note de M. Jacques Chapelon, présentée par 

 M. G. Humbert. 



M. Humbert, étendant une méthode d'Hermite, a établi dans le Journal 

 de Mathématiques (1907) diverses formules relatives aux nombres de 

 classes des formes quadratiques binaires et positives, en utilisant les relations 

 de la transformation du troisième ordre pour les fonctions thêta. En parti- 

 culier, il a obtenu des formules donnant, avec les notations de Kronecker 

 et d'Hermite, les sommes 



(I) 2F(4N — a?) et 2F,(4N — .z- 2 ), 



où x est un entier de signe quelconque, congru soit à 3, soit à ± 1 

 (mod 6). 



Il a donné de même, en fonction des diviseurs de N, les expressions des 

 sommes 



(II) 2F(N-^) el 2F,(N— x*), 



où x est congru soit à ± 1, soit à o (mod 3). 



Je me suis proposé d'obtenir, relativement au module .*>, des formules 

 analogues, ne rentrant pas dans celles de M. Gierster. 



Je m'appuie, pour cela, sur les formules de la transformation du cin- 

 quième ordre des fonctions thêta ; en les combinant avec les formules d'ad- 

 dition, j'arrive à des relations telles que celles-ci : 



.[Mil "M\ 



L 8 '(?) H '(¥)J 



»»ï ô ï — bv hJr =-V / 5 V^i 5 . vV, e\ („, 0, - 5n', 9', ), 



où y),, 0,, Y)',, 6' ( désignent respectivement H, (o, q), 0,(o, q 1, H,(o, q'°), 

 0, (o, q"). 



C. B., 1913, i« Semestre. (T. 15G, N° 9.) M 



