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D'autre part, dans le développement en série de Fourier de la fonction 



H,©, H 2 :© 2 , je remplace successivement la variable par ^ et ^-; je 



retranche membre à membre et je tiens compte de la relation qui précède ; 

 égalant alors dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances 

 de q, j'arrive à l'une des formules que j'avais en vue. 



De cette manière, j'obtiens des relations où les premiers membres sonl 

 des sommes des types (I) et (II) ci-dessus, et relatives au module 5 : pour 

 le type (I), x représente un entier, positif ou négatif, congru soit à 5, soit 

 à ± 1, soit à ± 2 (modio) ; pour le type (11), x est congru soit à o, soit 

 à ± 1, soit à ±2 (mod.5). 



Voici, par exemple, quelques-uns des résultats relatifs au cas de JN 1=0 

 (mod 10). 



Notations. — Je désigne par d' un diviseur quelconque de N ; par un 



N 

 diviseur, à conjugué impair, de— ; je pose encore, de toutes les manières 



possibles, 



N = d, d, 

 ^—d p d,. 



d { > d, 

 d p >di, 



d r étant pair et d, impair. Déplus, <I»(m) désigne la somme des diviseurs 



impairs de />/, si m est entier, et o si m est fractionnaire, et enfin ( ~ j est le 



symbole ordinaire de Legendre, supposé nul si a est multiple de 5. 

 Je pose N = 5^K, le nombre N' n'étant pas multiple de 5. 

 Dans ces conditions, on a, en particulier, comme formules du premier 



type, 



.rss (mol 10 1 \ O / 



d p + dj \- 

 5 ) 



1F(4îN-a- ! ) = 2| .+51* 



>' = ±I (mocllu \ 5 



[Hï)Mï 



itrlr.4 



Et, comme formules du second type, 



/d' 



2F(N — a5ar*)= -2( — i) rf '( %- ) + l2(^ I K(rf,_ d) 



>i. 2 v 5 ; 2 



-jS(-i)^(rf, 



d) 



d t + d 



ï*< N >+4*l3 



