85o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



on obtient les deux conditions 



; _£_ + e n — e-'-f-"-^ — o, 

 au ov 



(4) < Y h 



du dv 



Si cp et -j/ sont solutions des équations (4), les équatioiu (3) forment un 

 système complet pour déterminer les éléments de À. 0:i vérifie facilement 



qu'on a 



(5) ■£&=-<***' 



au ov 



et 



2»=-. Z(S)'=- 2(^)'=». S®"- 2(S)« 



On a de même 



^ 2 JV 



(6) ^^-==c«+yi 



et 



2*='. 2(fe)'=- 2(»)'=- 2($'=- Z(W : 



o. 



Il en résulte qu'à chaque valeur de la constante X on peut faire corres- 

 pondre un groupe de solutions x ( de l'équation (5) possédant les propriétés 

 demandées : même conclusion pour l'équation (6). 



La principale difficulté du problème réside dans l'intégration du 

 système (4)- On en voit tout de suite des solutions particulières. Si l'on 

 suppose <p = <\> on est ramené à l'intégration de l'équation du second ordre 



2 - — ±- -+- e 2 ?— e-"P= o. 

 ouov 



Si l'on suppose de plus que <p est une fonction de u-\- v, on est ramené 

 à l'équation différentielle 



qui s'intègre à l'aide de fonctions elliptiques. 



Propriétés géométriques. — Les formules qui donnent -p et -^ montrent 



qu'il existe, dans l'espace à six dimensions, un réseau A dont la première 

 tangente a pour paramètres les quantités Y)] et la seconde les quantités !;,•• 



