SÉANCE DU IO MARS IÇ)l3. 76 1 



Dans l'étude qu'il a faite de la méthode de M. Darbouxpour l'intégration 

 de ces équations, M. Gau a en particulier montré (') que tout invariant du 

 système (T) de caractéristiques dont l'ordre n dépasse 3 peut être mis 

 sous la forme 



/>,,„-, + mp a ,„+c?(x, y, s, p, «7, s, t, ..., /?,,„_;, p ,„_i) 

 »(#, y, z, />, q, ■<!,(, . . . , />V,*-ii /><>,*) 



A - désignant un nombre entier positif inférieur à n- ce théorème subsiste 

 quand n est égal à 3 si le système (T) est composé de caractéristiques 

 du premier ordre. 



J'ai essayé de compléter le résultat précédent en recherchant l'expression 

 de la fonction cr; je me bornerai au cas où le système (T) ne possède pas 

 d'invariants d'ordre moindre que n. Dans ce qui suit les lettres a, a, (3 

 serviront à représenter des constantes, tandis que nous appellerons u, v, w 

 des fonctions; les variables seront indiquées entre parenthèses. 



Nous supposerons d'abord que le système (T) n'est pas formé de carac- 

 téristiques du premier ordre, dans ce cas cr dépend toujours des dérivées 

 de z d'ordre supérieur à 2.. 



Si k est plus grand que 3 on a 



(I) us=u(x,y, z, p, q, s, t, .. . , /),,(_„ />„,*_! ) 



X [pi,k-,-*- mpo,k+ t'(x, y, ?,P, q, s, t, .■■,Pi,n-i,Po,k-i)~i* 

 ou 



(II) m=,u{x,y, z,p,q,s, l, ...,/>,,*_„ />o,/.-.)e" '-•'-'•• -/'•'/ •'.'./■..../wt/>..»-.+ '»/'.-.]. 



Lorsque la fonction u de la formule (I) contient des dérivées de z dont 

 l'ordre dépasse 3 on a 



u = [Pi,h-t + rnp ,h-t- wi*> Y, z, p, q, s, t, . . ., /j,, a _ 2 , A>o,A-i)] p > 



h désignant le plus grand des ordres des dérivées dont dépend effective- 

 ment u. 



Quand gj est une fonction des seules variables œ, y,z,p,q, s, t, p tî , p 0<J , 

 je n'ai obtenu que le résultat suivant : \ représentant l'expression 



Pt, t + m /> M , 

 gj est la puissance d'exposant d'une intégrale ir (x, y, :■, p, q, s, t, £) 



(') Journal de Mathématiques, 6° série, t. VII, p. i3g. 



