Théorème III 



AA' = E„. 



et W désignent deux matrices réelles ( n = n u 



SÉANCE DU 17 MARS IO.l3. 85o, 



Soit A «ne orthogonale complexe donnée quelconque, 



Introduisons l'orthogonale Q, = <I> 



<!> = 



w 



2 V ) 



o 

 H 



o 



iW, 



— il 



o 

 o 



•J 



ou 



o 

 o 



Î* + I 



o, $ 



et H etort/ deux hermitiennes canoniques v-aires, liées par la rela- 

 tion 2 — H 2 == E v . Il existe toujours un couple (U, V) de deux matrices U 

 et V, réelles et orthogonales, tel que A = U12V. ù est définie sans ambiguïté. 

 &'(U,V) e*/ «« couple, tous les autres sont fournis par la formule 

 (UT, T~'V), oùT est une orthogonale réelle quelconque échangeable à Q, c'est- 

 à-dire à $ et à W. 



Dans les recherches de Dynamique et de Physique mathématique qui se 

 rattachent au principe de relativité ( Einstein, Lorentz, Minkowski, H. Poin- 

 caré, etc.), on nomme (voir par exemple : Laue, Das Relatùitâtsprinzip 

 et Brill, Das Relativitâtsprinsip : Eine Einfùhrung in die Théorie) transfor- 

 mation lorentzienne une substitution linéaire et homogène, réelle et quater- 

 naire, qui, effectuée sur les quatre variahles x, y, z, u, admet pour 

 invariant absolu l'expression x- -+-y 2 + s 2 — ur. Généralisant notablement 

 cette définition, je nomme lorentzienne toute substitution linéaire et homo- 

 gène, rc-aire et réelle, qui, effectuée sur les n variables xj, admet pour 

 invariant absolu l'expression X = \ aj k XjX k , où la matrice (c/ y7> .)est réelle 



;* 

 et invertible. 



Il est licite, sans restreindre la généralité, de faire 



avec u 4- xs = n. On a d'abord des lorentziennes banales à existence 

 évidente ( ) , p et q étant des matrices réelles et orthogo- 



V o q ) m 



nales, respectivement u-aire et ni-aire. 



Théorème IV. — Soit une lorentzienne quelconque A. Introduisons la 



C. R., i 9 i3, 1" Semestre. (T. 156, N" 11.) IO9 



