SÉANCE DU 17 MARS I 9 I 3 . 863 



rent des racines de l équation 



(4) P(«)= M" _1 -hrt,«"- 2 + a, m"- 3 H- . . . + «-„_, = 0, 



z7 existe un nombre fixe K /e/ r/Me /owie fonction de la famille (f) assujettie 

 à la condition 



(5) |/*i|>K 



prenne une fois au moins l'une des valeurs o et u, à P intérieur d'un cercle 



(6) |*|<R 



dont le rayon R dépend seulement des nombres n, u,, a,, b,, a.,, b.,, ..., 

 «„_,, b a _ t , a, i/., [e£ nullement des autres coefficients des séries (2) et (3)]. 

 Le rayon R doit satisfaire à l'inégalité 



K>?(yo.y,) ('). 

 où 



— « jj.|I'(»|) — a(b,u n - 2 -t-fe 2 »"~ 3 + ...+ <*„_, ) 



J'établis ensuite un théorème plus général concernant les familles (F) 

 définies par une équation 



«F(s, M) = "" + A i( s )"" -1 -f---- 



-+- A v _, (;),/"-'+■ + *(«)«" l '+A ï+1 ( : )«« + ' + ...+ A,(;) = o, 



dans laquelle le coefficient £'(-) d'un terme quelconque contient les para- 

 mètres variables [/.,, [jl 2 , fjt. 3 , ..., les autres fonctions entières A ,(z), A, (s), ..., 

 A v _, (s),.A v+1 (s), . . ., A„( = ) étant fixes; nous considérons ici deux valeurs 

 quelconques u, et a., différentes de zéro. 



Ce théorème a le même énoncé que le précédent, sauf que la condition 

 P(w,) ^ o est remplacée par la suivante : 

 ( u{ — u\ ) + a l { 11)-'— Wf 1 ) -4- . . . 



Lorsque v — n et 11* — o, nous retombons à la condition P («,) =£ o du 

 théorème I. 



Faisons encore pour le théorème I la remarque suivante : Si nous donnons 

 au paramètre a, une valeur fixe assujettie à la condition ( 5), nous obtenons 



(') C'est la fonction bien connue indiquée par M. Landau et déterminée par 

 M. Caralhéodory. Voir, par exemple : F.. Landau, Ueber den Picardschen Satz 

 ( Vierteljcthrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich, Jahrgang 51, 

 1906). 



