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être mise sous la forme du déterminant (' ) 



(0 



F,, G/, H, désignant des fonctions réelles d'une seule variable :-,-. Nous avons 

 déjà indiqué diverses méthodes propres à effectuer cette réduction lors- 

 qu'elle est possible ('-), c'est-à-dire d'opérer ce que M. d'Ocagne appelle la 

 disjonction des trois variables s,, z 2 , s 3 . Nous allons ici présenter une 

 nouvelle méthode permettant, dans bien des cas, d'effectuer cette opération 

 parla seule résolution de trois identités fonctionnelles au moyen de la notion 

 si féconde des valeurs critiques de M. d'Ocagne. 



Les solutions fournies par cette méthode offrent d'ailleurs un intérêt 

 particulier, en raison du grand nombre de paramètres arbitraires qu'elles 

 renferment et qui se prêtent à diverses variantes. 



En l'appliquant à l'équation d'ordre 3, nous établirons que les trois 

 genres de nomogrammes à échelles cubiques, coniques et rectilignes connus 

 comme représentatifs de cette équation peuvent être définis au moyen d'un 

 seul déterminant général à 12 paramètres arbitraires, et que les deux 

 genres de nomogrammes coniques et rectilignes peuvent aussi s'obtenir en 

 décomposant en facteurs l'équation générale résultant de ce déterminant 

 pour les supports des échelles correspondantes. 



En effet, en remarquant que l'équation quelconque F l23 = o peut s'écrire 

 sous la forme 



(s) Fus— ' x F, ï3 +o xdi H , + o x fm+o x Xm=°i 



où ( I ) i2: 1 , 1 ï'i23)'/,i23 sont trois fonctions arbitraires, il est aisé de voir que, si 

 ces trois fonctions sont telles que les trois identités suivantes : 



1 > X Fm+ Fi * m + 6i?in+ H,Xiu= o (quels que soient z, et s 3 ), 



(3) ixF^j+Fsdiuj+Gîfijj+HjXisi^o (quels que soient s, et s 3 ), 



f 1 X F, î3 -1- F 3 $, S3 -i- G 3 tt la3 -|- H 3 y 123 = o (quels que soient ;, et c 2 ), 



admettent une solution par rapporta F,, G,, H,, le problème ci-dessus est 



(') Traité de Nomographie, par M. d'Ocagne, p. 123, et son Cours de Calcul 

 graphique et Nomographie, p. 221. 



( 2 ) Comptes rendus, \[\ février 1910, p. 379; Bull, de la Soc. math, de France, 

 t. XXXIX, 1911, p. io5, et t. XL, fasc. 4, 1912. p. 383; Inlern. Congress of Malhe- 

 maticians, Cambridge, 191 2. 



