868 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Introduisons ces expressions dans les trois identités (3). Ensuite résol- 

 vons la première de celles-ci par le procédé ci-dessus de M. d'Ocagne; nous 

 aurons le système suivant d'équations linéaires définissant les éléments 

 inconnus F,, G/, H, (pour i= i, 2 et 3 en raison de la symétrie complète) 



( F,(mfi+ n) + G,(>»'/,+ n') + H i (m''f J + n".) =-«/<•- (3, 

 (5) < F,(« ft + p) + G,(«' fi+pf ) + H £ («" /, + /»') = - (3/,— y. 



! F/i /> .A -+-?) + &( // /, + </') + n,(p" A + g" ) = - yf - §. 



Remarquons que, si, dans ce système à 12 paramètres arbitraires, on 



fait 



a—p'z=i et « = <j" = — 1. 



et si l'on annule tous les autres paramètres, on aura la solution particulière 

 s.uivante, déjà donnée par M. Clark, 



F,= /,_+>, G,= /?-y, H,=/f + «. 



Les éléments F,-, G,, H, du déterminant générateur du nomogramme 

 représentatif de l'équation (4), étant ainsi définis par les équations (5), 

 pour avoir, à présent, en coordonnées cartésiennes et homogènes x, y, :-, 

 l'équation générale des supports des échelles de ce nomogramme, il suffit 

 de substituer oc, y, z respectivement à F,, G,, H, dans les deux équations 

 linéaires et homogènes résultant de l'élimination du second membre des 

 équations (5) entré celles-ci. Ensuite, en éliminant f, entre ces deux 

 équations homogènes, on aura une équation du troisième degré repré- 

 sentant le support aux échelles ci-dessus. Cette équation étant à 12 para- 

 mètres arbitraires, on peut démontrer qu'elle est décomposable en deux 

 facteurs représentant les équations des supports correspondant aux deux 

 genres de nomogrammes coniques et rectilignes. 



Nous nous réservons d'étendre celte méthode aux équations à quatre 

 variables d'ordre quelconque représentables par double alignement. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le théorème d'indépendance de Hilbert. 

 Note de M. Tu. De Doxder, présentée par M. P. Appell. 



I. Grâce à la théorie des invariants intégraux, nous avons étendu dans 

 ces Comptes rendus (séance du 17 février i()i3) le théorème d'indépen- 

 dance de Hilbert, au cas où la fonction F dépend des n fonctions v, , . . . , y„ 



