SÉANCE DU 17 MARS lO,l3. 869 



de la variable indépendante t, ainsi que de leurs- dérivées jusqu'à un ordre 

 quelconque ; cette théorie fournit aussi l'extension des résultats de MM. Hil- 

 bert, Hahn et Bolza, relatifs au cas où F ne renferme que les dérivées 

 premières. 



II. Supposons maintenant qu'il y ait plusieurs variables indépendantes, 

 par exemple t, et / 2 ; et pour plus de simplicité aussi, supposons que F ne 

 contienne les dérivées partielles que jusqu'à l'ordre deux. Posons 



III. Soit 



(<) 





un invariant intégral relatif i-uple (') des équations différentielles totales, 

 immédiatement intégrables 



fyi—Yu{tit î y)dt l + Y i ,(t 1 i t y)dt i (i=i. ...,n). 

 On aura, par définition, 



dt , eft 2 



^i + ^î-aF, 



où F est une fonction dey,, .. -.y,,, t t , t.,, et où o/, = o/ 2 = o. 

 Pour que ( 2 ) 



( 2 ) v , ( n u . ô J; ^ 2 _ n 21 . ô>,- 0/, ) + 



P— y^N./Y.i+N./Y, 



,Y 2 ,) 3f, ô/. 



soit une différentielle exacte 2-uple, il faut et il suffit que j, et y, soient deux 

 différentielles exactes (où o£, = 0^ = ). 



IV. Considérons la fonction F du n° II et identifions 



^ V, [ p,,o>,+ q,,o/,"+ R„â,-,-] + ^ y , -[P„ ô fi + Q ± W + n,,syy] ^àF. 

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(') Nous avons indiqué cette extension dans une Note présentée, par M. Appell, à 

 l'Académie des Sciences de Paris (séance du g septembre 1901). 



(-) L'expression (2) se déduit de (1) par un procédé analogue à celui employé dans 

 notre Note précédente. 



