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GÉOMÉTRIE infinitésimale. — Sur les surfaces minima engendrées 

 par un cercle variable. Note de M. Gaston Darbocx. 



1. Dans son Mémoire Sur les surfaces d'aire minima pour un contour 

 donné ('), Riemann a fait connaître une surface minima des plus inté- 

 ressantes, engendrée par un cercle variable dont le plan est assujetti à 

 demeurer parallèle à un plan fixe. D'après la méthode même suivie par 

 l'illustre géomètre, on reconnaît immédiatement que la surface minima à 

 laquelle il a été conduit est la plus générale parmi toutes celles qui sont 

 engendrées par un cercle, lorsque le plan de ce cercle conserve une direction 

 invariable. On peut se demander si cette restriction est nécessaire et s'il 

 n'existe pas des surfaces minima engendrées par un cercle variable dont le 

 plan ne demeure plus parallèle à un plan fixe. J'ignore si celte recherche a 

 déjà été abordée; en tous cas, je crois utile de faire connaître le résultat 

 négatif auquel je suis parvenu. 



2. J'avais d'abord songé à employer une méthode reposant sur l'emploi 

 des formules célèbres, dues à M. II. -A. Schwarz, qui déterminent, par de 

 simples quadratures, la surface assujettie à passer par un contour analytique 

 donné et à y admettre, en chaque point, un plan tangent donné dont la 

 variation est aussi déterminée par des formules analytiques. Si (C) est le 

 contour donné, supposé réel, et si les coordonnées x, j, z d'un point du 

 contour ainsi que les cosinus directeurs X, Y, Zdu plan langent en ce point 

 soûl des fonctions analytiques d'un certain paramètre t, les formules de 

 M. Schwarz peuvent être mises sous la forme 



.> 



--H - / (Y dz — Z dy), 



" l 1. 



I 



s'— ÎLJlil + i j "(Xrfv — i da 1, 



^njn =1 étant les valeurs de .r, v, z pour / = l, ; x.,,y,, r, étant les valeurs 

 des mêmes coordonnées pour l = /,, et.r', y', z-' désignant les coordonnées 



(') Voir Riemann, Œuvres mathématiques traduites par L. LaugeL Paris, Gau- 

 thier-VilJars, 1898, \>. 3o5 et suiv. 



