SÉANCE DU 23 MARS I()l3. 929 



du point de la surface cherchée, qui seront ainsi exprimées en fonction des 

 deux paramètres /,, t.,. Les points réels de la surface correspondront au cas 

 où les valeurs de /, et de t. 2 seront imaginaires conjuguées, en supposant, 

 hien entendu, que soient réelles les expressions de x, y, z en fonction du 

 paramètre choisi t. 



Cela posé, supposons qu'on veuille trouver les surfaces minima engen- 

 drées par un contour d'espèce donnée. 



Soient 



/(&,?, «! «1 b, c, ...) — o, 

 <o(x, y, s, a, b, c, . . .) = 



les équations les plus générales qui définissent un tel contour; <v, b, c, ... 

 étant des constantes dont le nombre dépendra de la nature du contour 

 choisi. Il sera, par exemple, de l\ pour une droite, de 6 pour un cercle, de 8 

 pour une conique, de 16 pour une biquadralique, etc. La surface la plus 

 générale engendrée par un tel contour s'obtiendra en supposant que tous 

 les paramètres a, b, c, ... soient fonctions d'un paramètre variable A. 

 Alors le plan tangent en un point (•',)', s) de la surface sera défini par les 



deux équations 



àf 1 àf , df . n ^ df , 



-f- dx + -f- cl \ 4- -f dz -+- cil > -f- a' = o, 

 0.1 ay ' as ^ du 



—^dx + -—dv + -~ dz + (II. > — -a' 7=0, 

 dx à y ' dz *•* da 



où a', b\ c' désignent les dérivées de a, 6, c, ... par rapport à X. Si donc on 

 pose 



les cosinus directeurs de la normale seront déterminés par les équations 



(3) 



X Y. Z 



1 



ou l on a 



_. àt . do .. df . do ,.df . do A 



M -/ L — ^ Mf-Lf M -f- + L — !■ 



dx df dv dv dz Oz 



-=-S(£)"--"-S&-S(â 



En tous les points d'un même contour «, b, c, ... et a', b\ c', ... sont des 

 constantes qu'on peut choisir arbitrairement. X, Y, Z sont donnés par 

 les formules (3) et il est permis d'appliquer les formules de M. Schwarz. On 

 sera sur d'obtenir ainsi, si elles existent, toutes les surfaces minima engen- 



^■o\:^L / 



-~, i 



