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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de transcendantes 

 généralisant les fondions elliptiques et les fonctions abéliennes. 

 Note de M. Emile Picard. 



i. Dans deux Mémoires insérés dans les Acta mathematica (t. XXIII 

 et XVIII), j'ai indiqué une classe étendue de transcendantes nouvelles satis- 

 faisant à certaines équations fonctionnelles. 



Soit donnée une transformation birationnelle 



/ X,= R,(a?„a; 2 , ...,x n ), 

 (T) 



admettant le point double x, = x 2 = ... = x n = o. On pourra, en général, 

 écrire dans le voisinage de ce point 



X, = a t x l + Q, (ï„ï|, :..,«„), 

 1 



X n = a n x ' n "+" Vni^li ^S) • • • 1 x n )i 



les termes Q étant des développements de Mac-Laurin sans termes du 

 premier degré. 



Les transcendantes uniformes dont il s'agit, f, (z), f 2 (z),.. .,f n (z~), 

 admettent une première période, soit aui; relativement au changement de z 

 en:+ a (oj étant une quantité que nous pouvons supposer réelle et posi- 

 tive), on a 



/<« + «)- R, [/,(*),/,(*), ...,/„(-)!, 



/„(* 4- «) = R. [/,(*). /l(«) /„(•*)]. 



J'ai démontré l'existence de telles fonctions en procédant par approxi- 

 mations successives ('). Mon point de départ était le suivant. Soit tout 

 d'abord dans le plan de la variable complexe z = x -t- iy une bande parallèle 

 à l'axe Qy, limitée à gauclie par l'axe des y et à droite par une parallèle AB 

 à Qy, située à une distance a> de l'origine; on considère de plus une bande 

 de largeur très petite (fixe d'ailleurs), comprenant Qy à son intérieur, 



(') J'ai repris cetle question dans mon Cours en avril 191 !, en donnant les démons- 

 trations dans tous leurs détails. 



