séance du 3i mars igi3. 979 



limitée à gauche par la parallèle ï à Oy et à droite par le parallèle i au 

 même axe. Soit maintenant L'équation fonctionnelle 



V(z) étant une fonction méromorphe dans tout le plan, admettant la pé- 

 riode 27ri, et holomorphe dans la bande iï. On démontre qu'on peut 

 satisfaire à cette équation par une fonction f(z), de |)ériode 2 ici, méro- 

 morphe dans tout le plan, et holomorphe dans la première bande (Oj, AB) 

 et un peu au delà à droite et à gauche. 



Ceci démontré, partons de fonctions doublement périodiques de seconde 

 espèce 



aux multiplicateurs respectifs (1, a,), (i,a 2 ), ..., (i,a„), et envisageons 

 les approximations successives correspondant aux équations 



(/n= + w)=«, /r(^) + Q,[/i"-"(=), //-"(=) /ir" <■*)]. 



(■) - 



( /,/"(= + «) = ««/r(-) + Qj/r ii (--)./;" ' (;),...,//'"(-)]• 



Bien entendu, les séries Q peuvent cesser d'être convergentes, mais leur 

 signification n'en est pas moins déterminée. 



On suppose que les fonctions initiales f\ (z), ...,f"(z) n'aient pas de 

 pôles dans la bande iï. De plus, toutes les fonctions 



deviennent, quelque soit/j, infinies respectivement dans la bande {Oy, AB), 

 comme 



(3) /?(*), /;(s), ..., /;;(.). 



Ces conditions, jointes à la périodicité 27a, déterminent successivement, 

 dans tout le plan, les termes de la suite (2), en s'appuyant sur le lemine 

 préliminaire énoncé ci-dessus. 



On démontre enfin que, si les modules des ternies de la suite (3) sont assez 

 petits dans la bande iï , les termes de la suite (2) ont des limites parjaitemcnl 

 déterminées pour p = se. Ce sont les transcendantes cherchées. 



2. On pourrait, pour arriver au même résultat, procéder en faisant 

 d'autres approximations successives. Par exemple, comme je l'avais fait 

 dans mes premières recherches sur ce sujet, remplaçons œ ti a? 2) . . ., ac n par 



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