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[A3:,, [i.jc,, ..., \J.oc„ et X,, X 2 , ..., X„ par pX n pX 2 , ..., pX„ (p étant 

 une constante) dans la transformation T du début. Nous pourrons, en pre- 

 nant la transformation sous la seconde forme, écrire 



(4] 



l X t = a, Xt -t- P, (x„ .r,, c„, ,u), 



I \„r-=rt„.r„-|- I'„l /,. ./•,. ...,.'■„, p.)- 



( >n peut alors chercher à satisfaire au.\ équations fonctionnelles qui corres- 

 pondent à (4), en prenant pour /, (z),/ 2 (s), . . ., f n (z) des séries ordonnées 

 suivant les puissances de p, soit 



On prend pour /"( s )) ■••> /»( s ) des fonctions arbitraires doublement 



périodiques de seconde espèce aux multiplicateurs ( 1 , a, ), ..., (i,a„). 

 Quant à 



(6) /',"»(*), ..-, ff>{8) (P>i), 



elles sont holomorphes dans la bande (0_y, AB). 



Dans ces conditions, tous les coefficients des puissances de p sont déter- 

 minés dans les développements (5), el Ton peut établir que, si le module 

 de p es! suffisamment petit, les séries convergent et donnent, dans la pre- 

 mière bande, les fonctions cherchées. 



3. Si l'on n'assujettissait pas les fonctions de la suite (6) à être holo- 

 morphes dans la première bande (Oj, AB), on pourrait obtenir d'autres 

 développements analogues à (5). Beprenons les formules du paragraphe 

 précédent en nous bornant, pour simplifier l'écriture, au cas de deux équa- 

 tions. Soit 



X-=R(*,jO, 



Y = S(«,7) 



la transformation Irrationnelle; en remplaçant a; et y par p. a; et py, puis 

 X et Y par pX et pY, on obtient 



X — ax + P(.r, y, fi), 

 Y = 6.r-t-( v )(.r, /, p). 



