SÉANCE DU 3l MARS I9l3. 981 



En partant des développements 



/(*)=/.(*) + F-A(=) + f*Vi(-) + • • -, 

 ?( = ) = ??(*) + P-?i(--)+ r 1 *^ 5 ) +.. -, 



et substituant, il vient 



f (s -+- w) =af (z), 



ç (z h- w) = ^?u( 5 )> 



et, d'une manière générale, 



{) \ /p<» + ») = «/p(^)+ Pp(/o> <Po, ...,/ p -i, <p p -i) 



) » p (i; + to) = 6<p / ,(s) + Qp(/o, <p . ■ --,/p-i, ?p-i) 



les Pp et Q^ étant des polynômes. Au lieu de procéder, comme au para- 

 graphe précédent, pour obtenir les f p et <ç p , c'est-à-dire les supposer holo- 

 morplies (/» = i) dans la première bande (Oy, AB), on peut déterminer f p 

 et y p , en prenant pour elles des polynômes en 



/o) ?oi • • • 1 fp— 1) 



rp-i> 



qui sont complètement déterminés parles équations (7). On obtient alors 

 poury(s) et 3>(s) des développements conduisant à des expressions définies 

 pour toute valeur de [x, mais les fonctions uniformes f(z) et 9(3) ainsi 

 obtenues ne sont pas méromorphes dans tout le plan de la variable z. Elles 

 admettent comme points singuliers essentiels les pôles de f et o . 



On peut d'ailleurs arriver par une autre voie aux fonctions précédentes. 

 Supposons |a|>i,|6|>i,et envisageons les équations fonctionnelles 



F(au, bf>) = R[F(u, ?),*(«, c)], 

 4>(«", 6f) = S[F(w, «»),*(«, <■)]• 



Comme je l'ai montré ('), elles définissent des fonctions uniformes F(u, v) 

 et 0(m, t>) de u et 4' dans les plans des variables complexes u et v, holo- 

 morplies autour de « = t> = o, et ayant partout à distance finie le carac- 

 tère de fonctions rationnelles. On voit alors qu'en posant 



/(*) = F[/ (s) lT ,(*)], ?(*) = •[/.(*), ?o(*)], 



on obtient des fonctions uniformes de s, satisfaisant à nos équations fonc- 



(') Voir Comptes rendus, 4 juillet igo4, et aussi la Note I dans le Tome II de ma 

 Théorie des fonctions algébriques de deux variables, p. 465. Le cas de a = b avait 

 été envisagé à un autre point de vue par M. Poincaré (Journal de Mathéma- 

 tiques, 1890). 



