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982 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



tionnelles primitives; elles ont comme points singuliers essentiels les pôles 

 de/ (z)etde ?„(z). 



4. J'ai essayé autrefois d'étendre les recherches ci-dessus, de manière à 

 obtenir des fonctions de plusieurs variables, généralisant les fonctions abé- 

 liennes comme les fonctions du paragraphe 1 généralisent les fonctions 

 elliptiques. Mais des difficultés nouvelles se présentent et je n'ai pas 

 abouti. Il ne sera peut-être pas cependant sans intérêt d'indiquer ces diffi- 

 cultés en se bornant d'ailleurs à un cas très particulier. Soient w et w' deux 

 constantes positives, et soient 



■X = R(*,jr) 1 X = R'(*,/), 



Y=zS(^,j), Y=S'(x,r) 



deux substitutions Irrationnelles permutables du type considéré antérieu- 

 rement avec le point double x=y = o. Une question se pose naturel- 

 lement. Existe-t-il des fonctions uniformes f(z, z') et <p(z, z') des deux 

 variables complexes : et :■', ayant partout à distance finie le caractère de 

 fonctions rationnelles, admettant par rapport à z et à z' les périodes 2iïi,et 

 telles que 



J/t* + to, *') = «[/(*> *')>?(*,**')]■ /(*,*'+u') = H'.[/(*,0, ?(*,>)], 

 l9(* + ù,*') = S[/( «,*')» .?(«,«')]. <?(z,z'-ï-<, i ')=S'[f(z,z').o(z, z')], 



En suivant la même marche qu'au paragraphe 3, on est conduit à former 

 le système d'équations 



( /o(= -+-<*')=«/<>(*.*'). /p(z + (ù, =') =af P (z,*') + Pp[fo, <Po, •■-,/,,-,, ?,,-,], 

 ( 9o(sH-&), z') — b(f {z, z'), y p (z + w, z')=b<f l ,{z, z') -+- Q P [/ Q , %, ■ --./p-i, 9p-i], 



où p>i, et le système analogue pour la seconde substitution 



( /■,(-,='+ co') — fl'/ (j, ;'), /p(a, ;'+<o') = «'/,,(=, =')-+- Pp.[/».<Ro, ...,A-n?,.-i], 



( <p (s,a'+(u') = *'9o(*i -'), <?p(z, *''+ <•>') = b' <? P (z, z') + Q.' P [f oy <?o, ■ ■ ■ ,/p-u 9p-i ]• 



Considérons, dans les plans des deux variables complexes z et z', les pre- 

 mières bandes (Oj', AB) et (Oj'', A'B') relatives respectivement à w 

 etw'. Pour appliquer l'analyse qui a réussi plus haut, il faudrait pouvoir 

 satisfaire aux équations (9) et (10) par des fonctions de périodes iTti, 

 f-p et <p /( , holomorphes quand ^ et s' sont respectivement dans la première 

 bande de leur plan (p étant supérieur ou égal à un). Or, cela n'est pas pos- 



