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tion (r) possède des solutions différentes de zéro satisfaisant aux conditions 

 déterminées aux limites a fait, depuis l'apparition des Mémoires bien connus 

 de Sturin et de Liouville, l'objet de nombreux travaux importants. 



Citons en premier lieu le Mémoire célèbre de H. Poincaré Sur les équa- 

 tions de la Physique mathématique et les recherches classiques de M. Picard 

 {Comptes rendus, 19 février 189/1, et Traité d'Analyse, t. III, p. 1 14-128) 

 reprises sous un point de vue un peu différent dans un Mémoire plus récent 

 de Rendiconli (1906). En supposant p = 1 et posant de plus q = o, k > o, 

 M. Picard démontra l'existence d'une suite infinie positive de valeurs X,, 

 A,, ... du paramètre X et d'une suite de fonctions fondamentales y, (a?), 

 y,(x), ... correspondantes, telles que 



(2) j I (o)=j 1 (7r) = o («'=1.2, ...). 



Des travaux ultérieurs, citons ceux de M. Kneser {Math. Annalen, 

 t. LVIII, p. Go-(J3), un Mémoire de M. Masson (Trans. <>f the Amer. Mat. 

 Society, 190O), de nombreuses Notes de M. Stekloff, la Thèse de M. Haar 

 {Math. Annalen, 1910) et la Tesi d'abililazione de M. Picone (Pisa, 1909). 



Dans ses recherches classiques sur les équations intégrales, M. Hilbert 

 réduit l'étude de l'équation (1) à celle d'une équation intégrale du type 

 polaire en supposant q(x) < o et la fonction k{x) continue n'ayant qu'un 

 nombre fini de zéros. Il démontre de plus que chaque fonction continue 

 ayant les dérivées continues des quatre premiers ordres et satisfaisant aux 

 conditions déterminées supplémentaires peut rire développée en une série 

 uniformément convergente suivant les fonctions fondamentales. 



Posons p(x)b^i, q{x)So (ou même positive et suffisamment petite), 

 k{x) continue et absolument quelconque et signalons le théorème fonda- 

 mental suivant : 



// existe une suite infinie de valeurs exceptionnelles A,, X 2 , ... telles que 

 pour X = X, l'équation (1) possède une solution Yi(x) continue avec ses 

 dérivées de deux premiers ordres et satisfaisant à la relation {'2). Les fonc- 

 tions Yi(c) vérifient les relations 



(3) I A(.r) v,(x) rj(.r)dx—-o (*^y), 



h 



A, 



u=y). 



Supposons pour abréger que k(x) ne s'annule identiquement dans 

 aucun intervalle situé dans (o, t.). 



