SÉANCE DU 3l MARS IO,l3. 0,0,5 



Chaque fonction susceptible d'être développée en une série tri gonomê trique 



^ fjsinix avec Yi 1 /? convergente, ou, ce qui est la même chose, continue, 



i 



possédant une dérivée à carré sommable et vérifiant les relations 



f {x) =r it^ldx, /(0)=/(7C) = 0, 



peut être développée en une série uniformément convergente, 



(4) f{x)=^-^y,{x) f k{z)f{z) yi {z)dz. 



i 



Pour la démonstration j'ai recours à la théorie des formes quadratiques 

 à une infinité de variables créée par M. Hilbert. 



Supposons dans ce qui suit, pour abréger, jo = i, y = o, et prenons pour 

 point de départ l'équation 



(5) J U [g^-U(*). 7 (x M ,)]^ = o, 



v (x) désignant une fonction quelconque ayant les dérivées continues de 

 deux premiers ordres et s'annulant pour x = o et x = tt. Prolongeons les 

 fonctions k (x), y (x) et v (x) au delà de l'intervalle (o, n) conformément 

 aux équations 



k(—a:) — k(x),y(-x) = -y(x), v (— x) = — c'a), 



k{x + 2 7l) = k (x), y (x ■+- 2 7T) = j(.ï), V(x + 2 7T) = v (x). 



Pour les limites de l'intégrale (5) on peut alors prendre les valeurs o 

 et air. Posons 



V" "y 



(6) y{ x ) = y, — r siiu\r, ('(x) = 7 -^sint'j;. 



t i 



On trouve successivement : 



I- / A- (ar) y (x) c (j;) ete = - V -^4^ / k(s) sinis sinjsds = K(X; Y ), 



(7) ', 



(8) (X,Y)-ÀK(X,Y) = o. 



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