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K (X, Y) est une forme bilinéaire symétrique totalement continue. De 

 la théorie bien connue de M. Hilbert résulte presque immédiatement l'exis- 

 tence d'une infinité dénombrable de valeurs exceptionnelles A,, A 2 , ... (en 

 général positives et négatives). Dans le cas particulier où k(x) ne s'annule 

 identiquement dans aucun intervalle, la forme K(X, Y) est fermée. Alors 

 il existe une infinité dénombrable de formes linéaires 



(9) L«(X) = Z«X I +/?X 2 + ... (« = i,a, ...), 

 constituant une suite orthogonale normée et fermée. On a identiquement 



(10) (X,ï)rjL«(X)L»(Y). 



a 



Soit 



(ii) M*>= y •—■ J^"!**'*' 



i 



les y a (ac) sont les fonctions fondamentales appartenant à l'équation (i) et 

 aux conditions aux limites (2). Posons 



Y V 



(12) ^ -j- sin ix = g{\, x), V-4sini.» =/(x), 



i i 



g(\, x) désignant la fonction de Green de l'équation-^ =os'annulant 

 pour x = o et a7 = 7ï. De (10), (11) et (12) résulte facilement la relation 

 cherchée (4). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de Laguerre. 

 Note de M. Georges Pôlva, présentée par M. Emile Picard. 



1. On doit à Laguerre (Œuvres, I, p. 28) le théorème suivant : 



Soit V intégrale réelle 





convergente pour .r>r , et soit la fonction ?(À) telle qu'on puisse partager 

 l'intervalle (o, co ) en Y -+- 1 intervalles, de manière que : 



i° cp(A) ne soit identiquement nu/dans aucun des V -+- 1 intervalles ; 



2 p(A) soit de même signe dans chacun séparément ; 



3° cp( A) soit de signe contraire dans deux intervalles l'oisins. 



