SÉANCE DU 3l MARS IC)l3. 997 



Ces hypothèses remplies, la fonction f(x) a au plus V racines supérieures 

 à x Q . 



La démonstration du théorème, donnée par Laguerre, ne me paraît pas 

 suffisante ( ( ), mais on peut le démontrer en toute rigueur par la méthode 

 classique que Laguerre employait pour les séries (Œuvres, I, p. 3 et i/j4)- 



Le théorème est évident pour V = o; nous le supposerons démontré 

 pour V = n — 1 . La fonction <p(X) ayant précisément n -f- 1 intervalles de 

 signe constant, soit À l'extrémité commune des deux intervalles voisins de 

 signe constant. Si la fonction/(;r) avait r racines supérieures à x , la fonc- 

 tion f*(x) 



/* ( x ) = -^ eV/( x ) = e\* f ( l B - ). ) «-»* q»(X) dk, 



en aura au moins r — 1; c'est une conséquence simple du théorème de 

 Rolle. 



D'autre part, la fonction (À — X)cp(X) a précisément (n — 1) + 1 inter- 

 valles de signe constant; le théorème étant supposé démontré pour 

 V== n — 1, f*(oc) a au plus n — 1 racines supérieures à ;r . 



D'où l'on conclut 



/• — iL.it — 1 ou rln — V. c.q.f.d. 



Si la fonction <p(A) est continue, V est au plus égal au nombre des 

 racines positives de ç(X). On tire des formules 



f ? (À)rfA = *(X), /(*) = */" ®(l)e->*dl 



(dont la dernière est valable pour x^>cc , x^>o) la forme habituelle du 

 théorème, donnée par Laguerre (loc. cit.). 



En partant de ce théorème, on comblera aisément quelques lacunes que 

 Laguerre a laissées dans les démonstrations de quelques autres théorèmes ; 

 mais je préfère donner des applications nouvelles. 



(') On a la proposition : « Si les fonctions réelles analytiques/,(.r ), ..., f n {x), ... 

 convergent vers la fonction réelle analytique f(x), uniformément dans un domaine 

 qui comprend l'intervalle (a, b), et si, en commençant par un certain indice, toutes 

 ces fonctions/, (a), ..., _/„(«), ..., ont au moins r racines dans l'intervalle (a, b), 

 f{x) y aura aussi au moins r racines. » Cette proposition deviendrait fausse si l'on 



disait au plus au lieu de au moins I on pose, par exemple, f n (x) =(x — 1)*-\ ; j; 



or Laguerre semble supposer l'exactitude de cette proposition. 



