998 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2. Je vais transformer la formule d'interpolation de Lagrange; f(x) 

 désignant un polynôme réel de degré n, on a, pour x > nh, 



>!/(*) 



ï(î-')ï 



a; 



=T,_o«("\ffii! 



v / x 



= h ! W{e~' k '')e-^ x -"i'i (11, 

 W (x) désignant le polynôme de degré n suivant : 



Tout pareillement, pour x > o, on a 



x Ix 

 h\h 





-}.« /< 



W(e u )e-'-'rfX. 



De ces formules on conclut : Le nombre des racines de f(x), supérieures à 

 nh, est au plus égal au nombre des racines de W (x), comprises entre o et i, 

 et le nombre des racines négatives de f(x) est au plus égal au nombre des 

 racines de W (x), supérieures à i. Si f(6),f(nh), A"/(o) sont différentes de 

 zéro, les nombres des racines correspondantes de f(x) et de W(x) sont de même 

 parité. 



De ce théorème découle une foule de règles pratiques, connues ou nou- 

 velles, pour déterminer le nombre des racines réelles dey(;r), les valeurs de 

 n -+- i ordonnées équidistantes étant données. En particulier, on se servira 

 d'une méthode de Laguerre (Œuvres, I, p. iG); g(x) = ^a n x n désignant un 

 polynôme, ou même une série de puissance réelle, et les nombres AJf étant 

 définis par les formules récurrentes 



A ( ,°' = rt -|-a,-4-. . .-+-(?„, 



Aj* 1 = *•*-"+ A'/'-" -+- . . .+ Aj*- 



on forme le Tableau infini à double entrée 



(L) 



«„ 



a, a., a 3 



A', » A y» Ai, 01 

 A' " A'/' A ! 2 " A!, u 



A(0) 

 A 



On trouve une limite supérieure pour le nombre des racines de g(x), 

 comprises entre o et i, en comptant les variations dans les différentes 



